多重次調和函式

在數學中，多重調和函式（有時縮寫為psh，plsh或plush函式）形成複雜分析中使用的一類重要函式。 在卡勒廖流形上，多重調和函式形成了次調和函式的一個子集。 然而，與次調和函式（其在黎曼流形上定義）不同，多重調和函式可以在複雜的分析空間中完全一般地定義。

基本介紹

• 中文名：多重次調和函式
• 外文名：Plurisubharmonic function
• 領域：數學
• 英文縮寫：psh
• 地位：複雜分析中使用的一類重要函式
• 相關名詞：調和函式
• 所屬學科：數理科學

簡介

在數學中，多重調和函式（有時縮寫為psh，plsh或plush函式）形成複雜分析中使用的一類重要函式。 在卡勒廖流形上，多重調和函式形成了次調和函式的一個子集。 然而，與次調和函式（其在黎曼流形上定義）不同，多重調和函式可以在複雜的分析空間中完全一般地定義。

正式定義

一個函式：

如果它是上半連續的，則域 稱為多次調和，並且對於每個複數行

函式 是下面集合中的次調和函式：

完全一般性，這個概念可以在任意的複雜流形或甚至複雜的分析空間X上定義如下。一個上半連續函式

被叫做次調和若且唯若對於任何全息圖 ，下面函式是次調和的：

其中 表示單位圓。

可微分的次調和函式

如果f是 類，那么若且唯若隱式矩陣 ，f被稱為Levi矩陣，且

是正半定數。

歷史

19世紀，清代奧卡和皮埃爾·萊龍（Pierre Lelong）定義了多重調和函式。

屬性

（1）一組多重次調和函式在半連續函式的向量空間中形成凸錐，即

如果f是一個多重次調和函式，並且c> 0是一個正實數，那么函式 是多重次調和的；

如果f₁和f₂是多重次調和函式，那么和f₁+f₂也是多次調和函式。

（2）多重次調和是一種屬性，即若且唯若在每個點附近是多重次調和時，函式是多重次調和的。

（3）如果f是多重次調和的，並且 單調遞增的凸函式，那么 是多重次調和的。

（4）如果 是多次遞減函式的單調遞減序列，那么 是多重次調和的。

（5）可以獲得每個連續的多重次調和函式作為平滑多重次調和函式的單調遞減序列的極限。此外，該序列可以選擇均勻收斂。

（6）通常半連續性條件下的不等式保持相等，即如果f是多重次調和的，那么

（7）適用於任何Kähler度量的次諧波函式都是多重次調和函式。

（8）因此，多重次調和函式滿足最大原理，即如果f在連線的開放域D上是多重次調和的，並且

在D中的某些點中，f是常數。

套用

在複雜分析中，多重次調和函式用於描述偽凸區域，全息域和斯坦因歧管域。