四元流形上的分析

《四元流形上的分析》是依託浙江大學，由王偉擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：四元流形上的分析
• 依託單位：浙江大學
• 項目負責人：王偉
• 項目類別：面上項目

項目摘要

研究包含HyperKahler，四元Kahler，HKT和QKT等流形的一般四元流形上的分析。構造四元流形上k-Cauchy-Fueter復形，並用Bochner技巧討論這個復形的上同調群：有限性，Hodge分解，消滅定理等。發展四元流形上的多重位勢理論：四元流形上的四元Monge-Ampere運算元，流形上的閉正流等。研究四元強擬凸域邊界的四元CR幾何。

結題摘要

非齊次的k-Cauchy–Fueter方程的Neumann問題是四元分析最為核心的問題。為此我們引入了k-多次調和函式，k-擬凸域及k-Levi型等概念。對於4維歐氏空間中的k-擬凸域，我們發展了L^2估計的方法，解決了這種域上的Neumann問題，即得到了k-Cauchy–Fueter復形的第一上同調群的消滅定理。我們在麼模的四元流形上構造了k-Cauchy-Fueter復形，證明了一個Weitzenbock公式，得到了在具有負標量曲率的四元Kahler流形上這一族復形的上同調群的消滅定理。這一族復形對四元流形上分析，如討論流形上的Monge-Ampere運算元是非常重要的和基本的。將0-Cauchy-Fueter復形套用於四元Monge-Ampere運算元的研究，把多重位勢論的許多結果擴展到無界的四元多重次調和函式。我們研究了這個方法背後的四元線性代數，簡化了證明。我們還研究了四元 Monge–Ampere方程的Dirichlet問題的粘性解。區域邊界上四元分析探討切向k-Cauchy-Fueter運算元和k-CF函式。我們得到了四元Heisenberg群上到平方可積k-CF函式空間的Szego投影運算元的Szego核的積分表達式。在四元右Heisenberg群上構造了切向k-Cauchy-Fueter運算元和復形，並證明了k-CF函式的Hartogs現象。由於最近6維空間物理興起，我們研究了6維歐氏空間上的高自旋無質量場運算元，是6維 Lorentzian空間上的無質量場運算元的橢圓版本。這是四元分析的6維推廣