多重極點

多重極點

極點複函數裡面一種數學概念,在數理科學領域以及信息處理領域有及其廣泛的套用。

基本介紹

  • 中文名:多重極點
  • 外文名:Multiple pole point
  • 分類:數理科學
  • 套用領域:信息與通信
定義,相關性質,洛朗級數,

定義

亞純函式極點是一種特殊的奇點,它的表現如同
的奇點。這就是說,如果當z趨於a時,函式
趨於無窮大,那么
z=a處便具有極點
假設U複平面C開子集aU的一個元素,
是一個在定義域內全純的函式。如果存在一個全純函式
和一個非負整數n,使得對於所有U− {a}內的z,都有
那么a便稱為f的極點。滿足以上條件的最小整數n稱為極點的階。一階的極點又稱為簡單極點,零階的極點又稱為可去奇點。當n的值大於1時,a便是f的多重極點
從以上的定義,我們可以推出一些特徵:
如果an階極點,則在以上的表達式中必有g(a) ≠ 0。因此,我們有
其中h是在a的開鄰域內全純的函式,在a處具有n階零點。
另外,由於g是全純函式,f可以表示為:
這是一個洛朗級數,它的主部分是有限的。全純函式∑k≥0ak(z - a)稱為f的正則部分。因此,點afn階極點,若且唯若fa處的羅朗級數中所有低於−n的次數都為零,而−n次項不為零。

相關性質

  • 如果函式f的一階導數在a處具有簡單極點,則a是f的一個分支點,但反過來不成立。
  • 一個既不是極點又不是分支點的非可去奇點稱為本性奇點
  • 除了一些孤立奇點外全純的函式,且所有的奇點均為極點,則該函式稱為亞純函式

洛朗級數

在數學中,複變函數
的洛朗級數,是冪級數的一種,它不僅包含了正數次數的項,也包含了負數次數的項。有時無法把函式表示為泰勒級數,但可以表示為洛朗級數。洛朗級數是由皮埃爾·阿方斯·洛朗在1843年首次發表並以他命名的。
多重極點
函式f(z)關於點c的洛朗級數由下式給出:
其中
是常數,由以下的曲線積分定義,它是柯西積分公式的推廣:
積分路徑γ是位於圓環A內的一條逆時針方向的可求長曲線,把c包圍起來,在這個圓環內
是全純的(解析的)。
的洛朗級數展開式在這個圓環內的任何地方都是正確的。在右邊的圖中,該環用紅色顯示,其內有一合適的積分路徑
。如果我們讓
是一個圓
,其中
,這就相當於要計算的限制到
的復傅立葉係數。這些積分不隨輪廓
的變形而改變是斯托克斯定理的直接結果。
在實踐中,上述的積分公式可能不是計算給定的函式
係數
最實用的方法;相反,人們常常通過拼湊已知的泰勒展開式來求出洛朗級數。因為函式的洛朗展開式只要存在就是唯一的 ,實際上在圓環中任何與
相等的,以上述形式表示的給定函式的表達式一定就是
的洛朗展開式。

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