多線性運算元的有界性及其套用

《多線性運算元的有界性及其套用》是依託北京師範大學，由薛慶營擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：多線性運算元的有界性及其套用
• 依託單位：北京師範大學
• 項目負責人：薛慶營
• 項目類別：面上項目

項目摘要

首先我們將對多線性運算元中的多線性奇異積分運算元及其相關運算元，如極大運算元，Littlewood-Pale運算元，振盪奇異積分等，以及雙線性和三線性Hilbet變換的各種有界性問題進行深入研究。這些運算元本身與方程有密切關係，而且此研究涉及到調和分析中的三個公開問題，即Tao提出的三線性Hilbert變換有界性問題和Christ提出的關於帶非退化位相函式的多線性振盪積分的有界性問題，以及振盪積分的端點弱型估計問題。通過多線性運算元這方面的研究，探索解決三個公開問題的適當途徑。其次，我們將對與多線性運算元相關的Fourier積分運算元中某些低維流形上的運算元的L^p範數不等式的極值函式進行研究，主要是想徹底解決申請人和Christ提出的關於Radon型變換的關鍵點刻畫的猜想並研究沿曲線的線性卷積運算元的極值函式，並將這些結果推進到多線性情形。最後我們將研究Convex Body 情形下的多線性運算元的有界性問題。

結題摘要

多線性運算元在調和分析發展中起到了非常重要的作用，特別是這方面的研究與偏微分方程密不可分。在項目支持下，我們研究了多線性運算元及其相關運算元的一些調和分析的基本問題。 獲得了一些重要的研究成果。主要結果如下：（一）給出了一類平方函式的L^2有界性的雙權刻畫。證明了其雙權L^2不等式成立若且唯若雙權的A_2條件和測試條件成立。（二）給出了帶非卷積核和上冪界的非齊次Littlewood-Paley 函式的Tb定理。這是首次給出此類函式同時在以下三方面的研究：局部性，非齊次性，L^p -測試條件。最近又將測試條件減弱為弱（1,1）型測試條件。（三）首先系統研究了沿長方體的分數次極大運算元理論，給出了這類運算元的雙權等價刻畫。即使在單權情形下，此結果都是全新的。另外還給出了更一般基底下的雙權刻畫。建立了多線性強極大運算元和分數次強極大運算元的Fefferman-Stein不等式等。 研究了強極大運算元的正則性和光滑性問題，建立了其在幾類重要函式空間上的有界性。給出了沿長方體的分數次極大運算元的端點L\log 弱型估計，包含了Grafakos等人的結果。（四）雙參數的非卷積核的平方函式：首次給出了雙參數的平方函式的L^2有界性，並建立了其在Hardy空間和L^p（1）