多線性極大運算元與分數次極大運算元的正則性研究

《多線性極大運算元與分數次極大運算元的正則性研究》是依託山東科技大學，由劉風擔任項目負責人的數學天元基金項目。

基本介紹

• 中文名：多線性極大運算元與分數次極大運算元的正則性研究
• 項目類別：數學天元基金項目
• 項目負責人：劉風
• 依託單位：山東科技大學

項目摘要

函式空間實變理論是調和分析的重要組成部分，數學與物理中的許多問題均能歸結為運算元在某些函式空間上的有界性. Hardy-Littlewood極大函式是調和分析中一類重要運算元，許多積分運算元的有界性往往需要藉助於相關極大運算元的有界性來得到，而且它也被成功地套用於研究Sobolev函式以及偏微分方程中. 近年來極大運算元的正則性越來越受到廣泛的關注. 申請人及合作者已獲得一系列關於極大函式正則性的重要結果：特別地，建立了多線性極大運算元的正則性，引入一類廣義離散極大運算元並建立其端點正則性. 本課題擬進一步發展極大函式的正則性理論. 其中包括建立多線性極大運算元及分數次極大運算元的端點正則性；建立多線性極大運算元與分數次極大運算元在Sobolev空間上的連續性；建立離散多線性極大運算元與分數次極大運算元的端點正則性，包括這些運算元從離散Lebesgue空間到有界變差函式空間上的有界性與連續性.

結題摘要

運算元有界性一直是調和分析研究的核心內容之一，這是因為數學與物理中的許多問題均能歸結為運算元在某些函式空間上的有界性。作為調和分析中的一類重要運算元，Hardy-Littlewood極大運算元（簡稱HL極大運算元）一直在積分運算元的有界性研究以及其它方面發揮著重要作用。基於極大運算元在Sobolev函式性質研究以及偏微分方程問題研究中的重要套用，極大運算元的正則性問題自然而然地被歸結為研究以HL極大運算元為核心的各類極大運算元在Sobolev空間上的有界性問題。通過極大運算元在Sobolev空間上的有界性可建立相關的容量不等式，從而進一步用於研究Sobolev函式的逐點性態及其極大函式的擬連續性。近年來極大運算元的正則性越來越受到廣泛的關注。本課題主要研究多線性極大運算元與分數次極大運算元的正則性。特別地，建立了一維離散中心分數次極大運算元的端點正則性，即其從離散Lebesgue空間到有界變差函式空間上的連續性與Sharp有界性；建立了多線性分數次極大運算元在Sobolev空間上的有界性與連續性；建立了一維多線性分數次極大運算元的端點正則性；建立了離散多線性分數次極大運算元的端點正則性。這些結果極大地豐富與完善了極大運算元的正則性理論，而且為偏微分方程等相關領域的研究提供重要理論支撐。