框架理論及其在採樣定理中的套用

《框架理論及其在採樣定理中的套用》是依託南開大學，由孫文昌擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：框架理論及其在採樣定理中的套用
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：孫文昌
• 依託單位：南開大學

中文摘要

框架理論是小波分析中比較活躍的一個研究領域，廣泛套用於函式空間刻畫、信號和圖像分析等很多領域。對偶框架的構造是框架理論研究中的基本問題。對於Gabor框架，目前結果僅給出當窗函式具有緊支集並且調製參數與窗函式的支集長度滿足一定關係時對偶框架的顯式構造方法。對於一般情形, 即使窗函式具有緊支集，也沒有顯式的對偶框架構造方法。對偶小波框架的構造方面的結果則更少。我們將研究窗函式或小波函式滿足適當的光滑和衰減條件時對偶框架的構造方法，希望在較一般條件下得到對偶框架的顯式表達式。由於小波框架在L2之外的Lebesgue空間也許不能為每個函式提供一種係數穩定的展開式，有時甚至可能是不完備的，因此，研究小波框架在各種函式空間的完備性是十分必要的。我們將研究判斷矩陣伸縮小波框架在常見函式空間完備性的方法。此外，我們將把對偶框架的構造方法套用於採樣定理，希望給出新的採樣重構算法。

結題摘要

本項目主要研究架構理論及其在採樣定理中的套用，包括丟失框架係數的恢復和相應框架及其對偶的構造、線性正則變換域頻譜有限信號的採樣重構等。此外，我們還研究了多線性奇異積分運算元的有界性。 對於框架理論，主要研究丟失框架係數的恢復和相應框架及其對偶的構造方法。由於網路系統的不穩定性，數據在傳輸過程中經常發生丟包現象。如何從部分框架係數恢復丟失的信號，是套用中急需解決的問題。對於具有冗餘度的框架展開係數，我們提出一種新的算法，能夠快速恢復丟失的框架係數，進而重構原始信號。我們提出自定位魯棒框架的概念，證明對於這類框架，能夠從無順序的部分框架係數重構原始信號。我們利用素數的性質給出魯棒框架和自定位框架的顯式構造方法。我們研究部分框架係數缺失條件下的相位恢復問題，證明對於合適的框架，能夠從信號的部分無順序框架係數的絕對值在相差一個全局符號的意義下恢復原始信號，並給出滿足此性質框架的充分必要條件以及具體的框架構造方法。 採樣定理是現代脈衝編碼調製通信系統的理論基礎，也是信號分析中最強有力的基本結果之一。我們研究了線性正則變換域頻譜有限隨機信號的採樣理論，給出重構公式，並對混淆誤差和截斷誤差進行系統研究，把普通信號採樣定理的一些結果推廣到線性正則變換域頻譜有限隨機信號。在多線性運算元的加權估計方面，主要研究多線性分數次積分運算元和相應的極大運算元的加權有界性，得到當Lebesgue空間指數滿足一定條件時運算元界關於權常數的最佳估計。 本項目有18篇論文發表在IEEE Transactions on Information Theory和 Applied and Computational Harmonic Analysis等SCI期刊。