平移不變空間中壓縮採樣理論及算法研究

《平移不變空間中壓縮採樣理論及算法研究》是依託大連理工大學,由徐敏擔任醒目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：平移不變空間中壓縮採樣理論及算法研究
• 依託單位：大連理工大學
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：徐敏

項目摘要

信號採樣是模擬的物理世界通向數字的信息世界的橋樑。多年來，指導信號採樣的理論基礎一直是著名的Shannon採樣定理，但其產生的大量數據造成了存儲空間的浪費。近年來出現了一種新穎的採樣理論-壓縮採樣，它能夠以遠低於Nyquist速率採樣信號。然而，標準的壓縮採樣是一種有限維理論，其僅適用於在某一個基下為稀疏的或可壓縮的有限長離散信號。壓縮採樣理論框架與連續時間信號的採樣之間有一個明顯的空白。本項目試圖針對有限時間範圍上平移不變空間中的信號，結合平移不變空間生成函式的性質，在標準壓縮採樣理論框架下討論由不完全採樣數據重建連續時間信號的理論及算法。平移不變空間的優點是在保留帶限信號類的結構與簡單性的基礎上，它還可以建模更易於數值實現的非帶限信號類，對真實數據的逼近具有很強的靈活性。該項目的成功實施，將為進一步從理論和實際的結合上研究連續時間信號採樣問題開拓新的思路。

結題摘要

本項目基本按照研究計畫執行，圍繞由不完全採樣數據重建平移不變空間中信號的理論及算法開展研究工作。具體工作包括以下五個部分： 1. 我們推廣了經典的Shannon採樣定理，提出了一種基於Sinc函式帕德逼近的採樣公式。我們選取Sinc函式的帕德逼近作為Sinc函式的收斂因子，既保持了Sinc函式在整數結點上的性質，又加快了採樣級數的收斂速度。數值實驗表明，這種基於Sinc函式帕德逼近的採樣級數可以達到很高的逼近精度。我們相信這種推廣的Shannon採樣級數在信息與通信領域具有廣泛的套用前景。 2. 提出了一種基於平移不變核函式的排序函式的重建算法。通過計算平移不變核函式在不完全隨機採樣數據集上生成矩陣的特徵對，我們給出經驗特徵函式及特徵值的計算方法。我們引入一個參數用以控制生成假設空間的經驗特徵函式的數量。分析表明，這種基於平移不變核函式的排序函式重建方法具有很高的逼近精度。 3. 給出了排序函式一種基於平移不變核函式的稀疏重建方法。為利用L1範數最小化方法重建排序函式，首先由平移不變核函式在不完全隨機採樣數據集上形成一個核矩陣，然後通過計算該矩陣的特徵值和特徵向量得到基於核函式的經驗特徵空間的一組標準正交基，最後利用L1範數正則化方法，給出了排序函式在此經驗特徵空間中的一種顯示重構表達式。我們還建立了這種基於平移不變核函式的稀疏重建算法的收斂階。 4. 提出了一種新的基於Legendre多項式的導數重建算法。為充分利用Legendre多項式的正交性，與以往Legendre多項式導數重建算法不同，新算法在一個加權L2空間中討論導數重建問題。我們證明了新導數重建算法具有更好的收斂速率。數值實驗也表明此算法十分有效。 5. 提出了一種基於多元樣條擬插值的符號距離函式重構方法。與傳統方法不同，由於II型三角剖分具有非均勻性，我們的方法是一種自適應的重建算法。由於不需要計算導數，算法比較簡單易於計算機實現。另外，該算法所得到的近似函式具有低次數和高光滑性的特點。我們將此算法套用到曲線的裁剪偏移問題上，數值實驗表明這種基於多元樣條擬插值的符號距離函式重構算法十分有效。共發表論文8篇，其中SCI檢索5篇， EI檢索2篇。項目組成員共參加國內外學術會議4人次，出國（境）學術訪問3人次。培養博士研究生3人，碩士研究生1人。