冪零李群上的某些函式空間和多線性運算元

《冪零李群上的某些函式空間和多線性運算元》是依託北京師範大學，由趙紀滿擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：冪零李群上的某些函式空間和多線性運算元
• 依託單位：北京師範大學
• 項目負責人：趙紀滿
• 項目類別：面上項目

項目摘要

冪零李群上的調和分析是抽象調和分析的主要分支之一，在幾何分析、非線性分析、表示論、量子力學、偏微分方程等許多領域發揮著重大的作用。本項目中，我們將在冪零李群上研究某些變指標的函式空間和多線性運算元，並進一步探討它們的套用。我們將在某些冪零李群上定義變指標的Hardy空間、Besov空間等，給出它們的刻畫；研究海森堡群和四元數海森堡群或一般的海森堡型群（中心維數大於1）上的雙線性譜乘子的有界性，多線性奇異積分運算元的有界性，插值理論等，探討這兩類多線性運算元之間的關係；研究海森堡型群上的仿積運算元在所得函式空間上的有界性、核函式的性質等；並進一步把某些結果推行到一般的冪零李群上。探討所得結果的套用。

結題摘要

本項目重點研究了冪零李群上某些重要函式空間和多線性運算元等一些調和分析中的重要問題。我們在這些方面做了一些開拓性的工作。具體來說我們完成了以下幾部分研究內容： 冪零李群上的變指標函式空間。 我們刻畫了變指標Hardy空間、變指標Besov空間和Triebel-Lizorkin空間、非齊次變指標Lipschitz空間、各向異性的Musielak-Orliz Hardy空間，並給出了一些重要性質。這些空間的研究是調和分析理論的重要組成部分，是我們後續多種運算元的研究所需要的重要理論基礎。 冪零李群上重要的多線性運算元。我們做了很多開拓性的研究工作，例如研究了多線性譜乘子、多線性多參數譜乘子、雙線性面積譜乘子及其交換子、研究了四元數海森堡群上波方程的解的色散估計和Strichartz估計，研究了群上的仿積運算元、Calderón-Zygmund運算元、廣義Littlewood–Paley g-函式、與四元數Fourier變換相結合的多線性局部化運算元、Littlewood-Paley運算元、多線性gψ,λ*函式等重要的運算元，得到了運算元有界性、緊性、向量值不等式等重要結論。這方面的研究很好地拓展了群上的多線性運算元理論。 雙線性 Fourier 乘子以及多線性交換子等運算元有界性問題。得到了這些運算元在不同的函式空間以及變指標函式空間中的有界性，我們對變指標函式空間的研究極大地促進了這方面的研究工作。 關於小波變換的研究。在Sp（2，R）辛群上，Iwasawa子群可以實現為管形域，我們在其Shilov邊界上討論了連續小波變換理論。首次定義量子視窗Fourier變換並研究了量子小波變換，證明了很多重要的性質並給出了量子實現線路。研究了多種“超小波”變換等。小波理論本身具有著重要的實際套用價值，我們研究的多種實用的新型小波，進一步豐富了這方面的成果。 Heisenberg群及H型群上的Hardy不等式、Radon變換。在Heisenberg群和H型群上我們對Hardy不等式、Radon變換方面也做了大量的研究工作。我們在冪零李群上的研究，擴大了其適用範圍。 綜上所述，在本項目中，我們在冪零李群上研究了這些變指標的函式空間和多線性運算元，所取得的成果將進一步豐富和發展冪零李群上的調和分析。