沒有變元(或變元被其定義域的元素普遍賦值後)的原子公式，即基礎原子公式，也叫基礎原子，簡稱“基原子”。
基本介紹
- 中文名：基礎原子
- 外文名：basic atomic formula
- 簡稱：基原子
- 所屬學科：數學
- 相關概念：原子公式，變元等
定義,相關概念,海伯倫理論,
定義
不含有任何連線詞的謂詞公式叫原子公式，簡稱原子，將沒有變元出現的原子稱作基原子（即“基礎原子”）。
相關概念
定義1 不含有任何連線詞的謂詞公式叫原子公式，簡稱原子，而原子或原子的否定統稱文字。
定義2 子句就是由一些文字組成的析取式。
定義3 不包含任何文字的子句稱為空子句，記為
。
定義4 由子句構成的集合稱為子句集。
定義5 設謂詞公式G的子句集為S，則按下述方法構造的個體變元域H稱為公式G或子句集S的Herbrand域，簡稱H域。
(1)令H0是S中所出現的常量的集合。若S中沒有常量出現，就任取一個常量
，規定
。
(2)令
{S中所有的形如
的元素)，其中是出現於G中的任一函式符號，而
是
中的元素。i=0，1，2，…。
定義6 下列集合稱為子句集S的原子集：
A={所有形如
的元素}
其中，是出現在S中的任一謂詞符號，而則是S的H域上的任意元素。
定義7 將沒有變元出現的原子、文字、子句和子句集分別稱作基原子、基文字、基子句和基子句集。
定義8 當子句集S中的某個子句C中的所有變元符號均以其H域中的元素替換時，所得到的基子句稱作C的一個基例。
定義9 (可滿足性、不可滿足性)對於一個變元自由的一階語言公式G，如果至少存在一個D論域上的一個解釋
，在此解釋下G為真，則稱G是可滿足的，即
；反之，如果對於任何解釋G均為假，則稱G是不可滿足的，即
，或
。
對於一個變元自由的一階語言公式集
，即
，如果至少存在一個D的解釋，在此解釋下，的每個以D為論域的公式均為真，則稱為可滿足的；如果D的所有解釋都有假公式，則稱是不可滿足的。
不可滿足意義下的一致性
定理1設有謂詞公式G，而其相應的子句集為S，則G是不可滿足的充分必要條件是S是不可滿足的。
要再次強調：公式G與其子句集S並不等值，只是在不可滿足意義下等價。
當 時，若設P的子句集為
，
的子句集為
，則一般情況下， 並不等於
，而是要比 複雜得多。但是，在不可滿足的意義下，子句集 與 是一致的，即 不可滿足
不可滿足。
海伯倫理論
H域上的解釋
定義10 如果子句集S的原子集為A，則對A中各元素的真假值的一個具體設定都是S的一個H解釋。
可以證明，在給定域D上的任一個解釋
，總能在H域上構造一個解釋
與之對應，使得如果D域上的解釋能滿足子句集S，則在H域的解釋也能滿足S(即若
，就有
)。
定理2 設是子句集S在域D上的一個解釋，則存在對應於的H域解釋，使得若有，就必有。
定理3 子句集S不可滿足的充要條件是S對H域上的一切解釋都為假。
證明：充分性：若S在一般域D上是不可滿足的，必然在H域上是不可滿足的，從而對H域上的一切解釋都為假。
必要性：若S在任一H解釋下均為假，必然會使S在D域上的每一個解釋為假。否則，如果存在一個解釋
使S為真，那么依據定理2可知，一定可以在H域找到相對應的一個解釋
使S為真。這與S在所有H解釋下均為假矛盾。
定理4 子句集S不可滿足的充要條件是存在一個有限的不可滿足的基例集S’。
該常理稱為Herbrand定理。
