坐標叢

坐標叢在嚴格等價之下的一個等價類稱為一個纖維叢。由於每一個坐標叢都惟一地決定了一個纖維叢，故通常當得到一個坐標叢時，就認為得到了一個纖維叢，且簡記為(E,B,π,F,G)。

基本介紹

• 中文名：坐標叢
• 外文名：coordinate bundle
• 所屬學科：纖維叢理論

簡介

設G為在拓撲空間F上有有效作用的拓撲群，π:E→B為拓撲空間範疇的滿態射，且有𝓐={π(U_α),(π,φ_α)}_α∈A，若滿足下列條件：

1.{U_α}_α∈A為B的開覆蓋。

2.(π,φ_α):π(U_α)→U_α×F為同胚，稱為叢坐標卡。對p∈U_α，φ_α|_π-1(p):π(U_α)→F為同胚。

3.若p∈U_β，對α,β∈A，存在連續映射f_α,β:U_α⋂U_β→G，定義為f_α,β(p)=φ_β∘φ_α|_π-1(p):F→F。

則𝓐稱為叢圖冊，π稱為坐標叢，E稱為全空間，B稱為底空間，F稱為典型纖維，G稱為結構群，f_α,β稱為從φ_α到φ_β的轉移函式。

表示方法

坐標叢記為

對任意 x∈B，記 ，稱為點x上的纖維，它同胚於典型纖維F。

性質

若兩個具有相同的全空間、底空間、投影、典型纖維和結構群的坐標叢的兩個轉移函式族合併起來仍滿足條件1,2和3，即仍成為一個轉移函式族，則稱這兩個坐標叢嚴格等價。

坐標叢在嚴格等價之下的一個等價類稱為一個纖維叢。

由於每一個坐標叢都惟一地決定了一個纖維叢，故通常當得到一個坐標叢時，就認為得到了一個纖維叢，且簡記為(E,B,π,F,G)，當G無需指明時也簡記為(E,B,π,F)，當F,G和π無需指明時也說E是B上的一個纖維叢。例如，若M是n維微分流形，其切叢T(M)在自然投影π之下是M上的一個纖維叢，實際上是以T(M)為全空間，M為底空間，π為投影，R為典型纖維，一般線性群 GL(n,R)為結構群的纖維叢。