圖的對稱性與計數研究

《圖的對稱性與計數研究》是依託北京交通大學，由馮衍全擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：圖的對稱性與計數研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：馮衍全
• 依託單位：北京交通大學

項目摘要

利用有限群理論，結合拓撲、組合和圖論方法研究圖的對稱性已經成為國際學術界一個活躍的研究分支，在信息科學等眾多領域有著廣泛套用。本項目研究圖的對稱性，圖及其相關地圖和覆蓋的計數，重點是圖的代數性質和結構性質。具體研究內容如下：圖的自同構群，包括點穩定化子、給定階小度數對稱圖自同構群、可解群上凱萊圖正規性、存在點傳遞單群的對稱圖自同構群，重點是其中長期未解決的問題如素數冪階凱萊圖正規性；高對稱性圖的構造與分類，包括1-正則圖、給定階對稱圖、小圍長弧傳遞圖、半弧傳遞圖，重點是基礎圖和素數冪階四度半弧傳遞凱萊圖都正規的公開猜想；正則覆蓋圖的構造與分類，包括基圖為小階數圖的對稱正則覆蓋、基圖為無限類圖的對稱正則覆蓋、半弧傳遞正則覆蓋，重點是給定階高對稱性圖分類中和廣義二面體群上對稱凱萊圖研究中需要構造的圖類；圖與地圖計數,重點是圖的正則覆蓋計數、著名圖類的地圖同構類計數和給定階高對稱性圖的同構計數。

結題摘要

本項目致力於群論在圖與網路中套用，取得系列創新成果。正則多面體研究獲得突破，國際上正則多面體構造基本都來自幾乎單群，由此著名專家Egon和Weiss於2006年提出公開問題，即2^n階正則多面體研究：本項目構造分類了多個2^n階正則多面體，發表在群論頂級期刊JGT上，是該方向標誌性成果，也是我國研究者在多面體領域完成的僅有的幾個成果之一。凱萊圖CI-性解決了關鍵難題，CI-性研究重點之一是初等交換群，在一批學者包括Babai、Conder、Godsil等著名專家努力下證明秩不超過4的初等交換群是CI-群且存在秩大於5的初等交換非CI-群，秩5初等交換群CI-性多年沒有解決，是一個公開難題：本項目證明秩5初等交換群是CI-群，發表在組合領域頂級刊物JCTA上，是本方向關鍵性成果。對稱無核m-凱萊圖研究取得重要進展，非交換單群上三度對稱凱萊圖研究已發表文獻十餘篇，本項目給出分類三度無核對稱m-凱萊圖算法，由Magma軟體實現，不僅推出前人相關成果，而且得到三度對稱無核2-凱萊圖和弧正則3-、4-、5-、6-、7-凱萊圖分類，由此回答了李才恆在PAMS提出的公開猜想，發表在代數組合頂級期刊JACO上。網路泛圈性研究解決了公開猜想，有關著名立方體網路在這方面公開發表文章達30餘篇，本項目解決了該網路容錯泛圈性，即徹底解決了Tsai於2007年提出的公開猜想，發表在信息科學頂級期刊IS上。本項目還在半弧傳遞圖、點傳遞非凱萊圖、圖的正則覆蓋、擬半正則對稱圖、網路外連通度、網路悲觀診斷度等方面取得較大進展。本項目資助2次國際會議，成員到國外合作研究6次，國外同行來我校合作研究6次。資助30餘人次參加國內學術會議，申請人多次做大會邀請報告，如2019年6月在第八屆國際華人數學家大會上做45分鐘特邀報告、2019年8月在G2D2國際會議上做大會邀請報告。資助7名博士生和3名碩士生完成學業，發表28篇SCI科研論文。