圓系方程

簡要說明

在方程(x-a)²+(y-b)²=r²中，若圓心(a,b)為定點，r為參變數，則它表示同心圓的圓系方程．若r是常量，a（或b）為參變數，則它表示半徑相同，圓心在同一直線上（平行於x軸或y軸）的圓系方程．

經過兩圓x²+y²+D1x+E1y+F1=0與x²+y²+D2x+E2y+F2=0

的交點圓系方程為：

x²+y²+D1x+E1y+F1+λ(x²+y²+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1)

經過直線Ax+By+C=0與圓x²+y²+Dx+Ey+F=0的交點圓系方程

x²+y²+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0

類型1：方程表示半徑為定長的圓系

類型2：方程表示以定點為圓心的同心圓系。

拓展1：方程表示圓心落在定直線上，半徑為r（r為正數）的圓系。

拓展2：方程表示圓心落在任意直線上，半徑為定長的圓系。

拓展3：方程表示圓心落在直線上的圓系。

拓展4：方程表示圓心落在圓上，半徑為的圓系。

類型3：共軸圓系

若⊙C1與⊙C2交於A、B兩點，則直線AB稱為這兩個圓的根軸。經過A、B兩點的所有的圓形成一個圓系，這圓系內任何兩個圓的根軸均為直線AB，因此我們稱這種圓係為共軸圓系。

理解：1.例題：求x+(m+1)y+m=0所過定點

解：可將原式化為x+y+m(y+1)=0

即為x+y=0；y+1=0

解得恆過點（1，-1）

由此我們理解到當除了x，y（為一次冪）還有一未知數m時,依然可求得一定點。

由此可聯想：當有二次方程組x²+y²+D1x+E1y+F1=0與x²+y²+D2x+E2y+F2=0我們便能求出兩定點。

過一已知圓與一直線的兩個交點的圓系方程為：

x²+y²+D1x+E1y+F1+λ（Ax+By+C)=0

理解2：有二次方程組x²+y²+D1x+E1y+F1=0 ①式

x²+y²+D2x+E2y+F2=0 ②式

①式+②式得x²+y²+D1x+E1y+F1+x²+y²+D2x+E2y+F2=0

此方程僅符合交點坐標(即帶入交點後成立）

加入參數λ讓方程代表恆過兩點的所有圓。

例2：求過兩圓x^2+y^2=25和(x-1)^2+(y-1)^2=16的交點且面積最小的圓的方程。

分析：本題若先聯立方程求交點，再設所求圓方程，尋求各變數關係，求半徑最值，雖然可行，但運算量較大。自然選用過兩圓交點的圓系方程簡便易行。為了避免討論，先求出兩圓公共弦所在直線方程。則問題可轉化為求過兩圓公共弦及圓交點且面積最小的圓的問題。