單純映射

單純映射(simplicial map)是聯繫復形的多面體之間的一類重要映射。它是從復形K的多面體|K|到復形L的多面體|L|的連續映射，任何連續映射在某種意義下可用它逼近，可簡記為f：K→L(省去多面體|K|，|L|的記號)。單純映射是連續映射；單純映射由限制在頂點集上的映射f=f|K： K→L完全決定。反之，對於頂點集之間的任意映射f，只要f把K中任意單形的頂點集映成L中某單形的頂點集，它就惟一地確定一個單純映射f：K→L。

基本介紹

• 中文名：單純映射
• 外文名：simplicial map
• 屬性：聯繫復形的多面體之間的一類映射
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：代數拓撲學

定義

設和是兩個復形，從到的一個對應(作為單形的集合之間的對應)稱為單純映射，如果它滿足下面兩個條件：

(1)若是的頂點，則是的頂點；

(2)若是中單形，則的頂點集是。

注意，和是兩個集合，對於每個當然是一個單形，但是其頂點並不要求互不相同。換句話說，的維數的維數，因此單純映射實際上還滿足：

(3) ；

(4)。

當(4)中等式成立時，稱在上是非退化的；否則，就稱在上是退化的。容易看出，當在上是非退化的時，在的所有面上均是非退化的，而且，如果在的所有真面上都是非退化的，那么在上也必然是非退化的。

此外，不難看出，定義中的條件(1)實際上包含於條件(2)中，因為當是的頂點時，它實際上代表一個0-維單形，按照條件(2)，的頂點集為，這也就表明是一個頂點。

從定義也不難看出，單純映射實際上是由在上的作用完全決定的。由誘導的映射(即在上的限制)稱為由決定的頂點映射。反過來，一個滿足適當條件的頂點映射也能夠確定一個單純映射。

相關性質

命題1 設和是兩個給定的復形，是一個頂點映射，如果滿足如下條件：

“當是K中某個單形的頂點集時，也是K中某個單形的頂點集”。則確定唯一一個單純映射，其誘導的頂點映射正是。

這個單純映射也稱為由頂點映射擴張而得的。

命題2 若是單純映射，則映射連續。

證明： 利用粘接引理，只需證明是連續的即可。不妨設，設，則，可見是一個線性函式，因此是連續的。由於每個單形都是的閉集，且只有有限個單形，故由粘接引理知，連續