單純映射

單純映射

單純映射(simplicial map)是聯繫復形的多面體之間的一類重要映射。它是從復形K的多面體|K|到復形L的多面體|L|的連續映射,任何連續映射在某種意義下可用它逼近,可簡記為f:K→L(省去多面體|K|,|L|的記號)。單純映射是連續映射;單純映射由限制在頂點集上的映射f=f|K: K→L完全決定。反之,對於頂點集之間的任意映射f,只要f把K中任意單形的頂點集映成L中某單形的頂點集,它就惟一地確定一個單純映射f:K→L。

基本介紹

  • 中文名:單純映射
  • 外文名:simplicial map
  • 屬性:聯繫復形的多面體之間的一類映射
  • 所屬學科:數學
  • 所屬問題:代數拓撲學
定義,相關性質,

定義

是兩個復形,從
的一個對應
(作為單形的集合之間的對應)稱為單純映射,如果它滿足下面兩個條件:
(1)若
的頂點,則
的頂點;
(2)若
中單形,則
的頂點集是
注意,
是兩個集合,對於每個
當然是一個單形,但是其頂點
並不要求互不相同。換句話說,
的維數
的維數,因此單純映射
實際上還滿足:
(3)
(4)
當(4)中等式成立時,稱
上是非退化的;否則,就稱
上是退化的。容易看出,當
上是非退化的時,
的所有面上均是非退化的,而且,如果
的所有真面上都是非退化的,那么
上也必然是非退化的。
此外,不難看出,定義中的條件(1)實際上包含於條件(2)中,因為當
的頂點時,它實際上代表一個0-維單形,按照條件(2),
的頂點集為
,這也就表明
是一個頂點。
從定義也不難看出,單純映射
實際上是由
上的作用完全決定的。由
誘導的映射
(即
上的限制)稱為由
決定的頂點映射。反過來,一個滿足適當條件的頂點映射
也能夠確定一個單純映射。

相關性質

命題1
是兩個給定的復形,
是一個頂點映射,如果
滿足如下條件:
“當
是K中某個單形的頂點集時,
也是K中某個單形的頂點集”。則
確定唯一一個單純映射
,其誘導的頂點映射正是
這個單純映射
也稱為由頂點映射
擴張而得的。
命題2
是單純映射,則映射
連續。
證明: 利用粘接引理,只需證明
是連續的即可。不妨設
,設
,則
,可見
是一個線性函式,因此是連續的。由於每個單形
都是
的閉集,且只有有限個單形,故由粘接引理知,
連續

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