商環(數學概念)

環R關於加法對其理想I的陪集之集合構成一個環，稱為商環，商環的加法和乘法可以自然地從環R的相應運算中衍生出來。

基本介紹

• 中文名：商環
• 外文名：quotient ring
• 適用領域：抽象代數
• 所屬學科：環論

定義

設R是一個環，I是R的一個理想，R作為加法群關於I的商群R/I對乘法(r₁+I)·(r₂+I)=(r₁r₂+I)所作成的環，稱為R關於I的商環，或稱為R模I的同餘類環，記作R/I。

可定義性

當把環R看作加群時，R是一個交換群，因此任意的理想I均是R的正規子群，從而可以定義商群R/I，商群當然也是一個交換群。我們為了在商群的基礎上構造一個環，需要引入商群乘法：(r₁+I)·(r₂+I)=(r₁r₂+I)。

顯然，這個乘法是可定義的，也就是說對於同一個陪集選取不同代表元不會影響乘法結果。

事實上，我們假設r₁+I=r₁'+I，r₂+I=r₂'+I則-r₁'+r₁∈I，-r₂'+r₂∈I，因此-r₁'r₂'+r₁r₂=(-r₁'+r₁)r₂+(-r₂'+r₂)r₁'∈I即乘法是可定義的。

容易驗證上述乘法滿足結合律和左右分配律。因此R/I確實構成一個環，稱為商環。

套用

引入商環的概念後就可以仿照群同態基本定理推導出環同態基本定理——我們知道抽象代數的主題是圍繞著代數結構和態射的，因此環同態基本定理在關於環的理論中具有非常基本的作用。