《有組合背景的單項式理想的研究》是依託蘇州大學，由顧燕擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：有組合背景的單項式理想的研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：顧燕
- 依託單位：蘇州大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
組合交換代數是組合學和交換代數學相結合的一門較新的學科。單項式理想和代數是交換代數中結構最簡單的一種代數形式，是組合交換代數中的重要分支。本項目主要研究有限圖的邊理想的Castelnuovo-Mumford正則度、單項式理想的相伴素理想集、投射維數以及算術秩。本項目將運用極化的方法把一般的單項式理想轉化成無平方的單項式理想，然後運用Stanley-Reisner理論，把無平方的單項式理想看作某個單純復形的極大面理想。同時，本項目還將運用Gröbner基理論並藉助CoCoA等計算工具研究單項式理想的冪。本項目的目標是求出有限圖的邊理想的冪的Castelnuovo-Mumford正則度的線性表達式，刻畫滿足升鏈條件以及滿足投射維數與算術秩相等的無平方的單項式理想。
結題摘要
組合交換代數是組合學與交換代數學相結合的一門較新的學科。 單項式理想和代數是交換代數中結構最簡單的一種代數形式，是組合交換代數中的重要分支。 以項目的研究目標為基礎，本報告主要研究了某些單項式理想的Stanley深度、深度以及正則度。 從1982年開始， Stanley猜想成為單項式理想理論中的一個熱點問題。儘管Stanley猜想對於一般的單項式理想或對應的商環不一定成立，但對某些特殊的單項式理想或對應的商環還是可能成立的。圖的邊理想是一類重要的單項式理想。本報告定義了兩種廣義的路圖和圈圖，研究了它們的邊理想。藉助CoCoA軟體，運用對多項式環中變數的個數做歸納法，深度引理，Stanley深度的不等式以及Stanley分解等方法證明了這兩種廣義的路圖的邊理想和圈圖的邊理想的冪以及對應的商環都滿足Stanley猜想。並且對一些特殊的理想還給出了Stanley深度和深度的具體公式。同時，還得到了關於這些理想的極大高度、投射維數和算術秩的結論。 正則度理論是交換代數中的一個重要分支。1982年，A.Ooishi用局部上同調模定義了分次模的正則度。模的相伴分次模和纖維錐是兩個重要的分次模，一些學者研究了它們的正則度的上界。本報告運用數學歸納法，用表面序列的長度和某些局部上同調模的長度等刻畫纖維錐的正則度的上界。 單項式理想的正則度是單項式理想理論中的一個重要的研究分支。一些學者證明了圖的邊理想的冪的正則度有奇異線性性質。本報告運用CoCoA軟體，歸納法，結合圖本身的組合結構如誘導匹配數等研究了圈圖的耳朵圖，證明了其邊理想的冪的正則度有線性性質，給出了其計算公式。同時，給出了有一個公共頂點的雙圈圖的邊理想的冪的正則度的計算公式。
