《單項式理想與Cohen-Macaulay性質》是依託上海交通大學，由武同鎖擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：單項式理想與Cohen-Macaulay性質
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：武同鎖
- 依託單位：上海交通大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要構造若干類型交換環，並研究它們的同調性質和組合性質。從簡單圖（即無重邊、無環圖）、超圖、Poset 、半格等出發藉助於單項式理想（以及推廣）構造新的交換環類，並研究新交換環類的代數（同調）特性與組合特性及二者之間的聯繫與制約，研究有關組合理想（邊理想等）的代數性質(如極小自由預解式、Betti 數、正則度、深度與同調維數等)。研究由有限抽象單純復形和零因子單純復形導出的面環（又叫Stanley-Reisner ring）、邊環的代數特性（例如同調與幾何不變數、Cohen-Macaulay 性、其單項式理想與子代數結構等）與組合特性(包括組合不變數)，以及這些性質與原環（或者原復形）性質或者結構之間的關係。特別是研究圖（以及單純復形）的shellability. 這一特性在以往涉及到相應單項式理想等Cohen-Macaulay性質的工作中占據著完全核心的主導地位。
結題摘要
單項式理想是域上多元多項式環S的由有限個單項式生成的理想I，確定其相應商環（或更確切地說，K-代數）S/I的代數性質和組合性質是本項目的主要研究目標。這些性質的核心是Cohen-Macaulay性質，在交換代數、同調代數、代數幾何、代數表示理論中具有非常重要的套用背景。為了研究Cohen-Macaulay性質等，經常藉助於圖、偏序集、單形復形等組合或拓撲對象進行直接構造，研究組合或者拓撲性質對於代數性質的影響。在我們的工作中，系統研究了若干種代數性質（Borel-fixed, strongly stable, lexsegment, or universal lexsegment）在理想運算（closure，n'th sumbolic power, polarization等）之下的具體表現；完整刻畫了由同次數的齊次單項式生成的f-理想，刻畫了Unmixed pure f-理想，完全分類了2-齊次的f-理想和f-圖，並證明了所有f-圖均具有純shellable性質，從而是Cohen-Macaulay的。我們系統整理和總結了前人在shellable性質方面的工作，提出了強shellable復形的概念----這類復形D使得其Facet 理想以及D的Alexander對偶復形的Stanley-Reisner理想均具有線性商，從而可以方便地歸納構造出這兩個理想的極小FFR（finite free resolusion），並對於強shellable性質和edge-wise 強shellable性質進行了系統的研究。最近，我們又發現了Bool圖具有良好的代數組合性質----例如我們證明了：Bool圖都是Unmixed而且頂點可分解（vertex decomposable），因此具有Cohen-Macaulay性質；又證明了Bool圖的補圖也是頂點可分解的。此外，我們對於前一個項目的代數圖也進行了整理研究，並獲得很多好結果。 截止到2016年12月中旬，課題組已經發表標註論文22篇，完成並投稿論文9篇。在此期間，在相關領域培養了喻厚義、葉萌、郭錦三名博士（三人都獲得了天元基金資助；喻厚義和郭錦還得到國家自然科學基金青年基金的資助），還有三名博士在讀，他們都在進行相關專題的研究。期間，組織課題組成員參加全國代數會等學術會議20餘人次。舉辦小型會議一次。
