交換代數中與組合和代數幾何交叉的課題的研究

《交換代數中與組合和代數幾何交叉的課題的研究》是依託蘇州大學，由唐忠明擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：交換代數中與組合和代數幾何交叉的課題的研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：唐忠明
• 依託單位：蘇州大學

項目摘要

現代的交換代數學科，已逐步超越了傳統的交換環和理想的理論研究的範圍，主要向兩方面發展。一方面在組合數學中獲得套用，產生了組合交換代數；另一方面為代數幾何和算術代數幾何提供新的基礎理論支撐。本項目主要研究交換代數與組合論和代數幾何相交叉的課題。研究單純復形的Stanley-Reisner環等交換分次環的Betti數等不變數、何時具有Cohen-Macaulay性質和Gorenstein性質，以及所對應的組合性質；研究Stanley深度及組合交換代數中著名的Stanley猜想。同時，我們將研究緊閉包、乘子理想層及相關的一些前沿課題。主要研究與緊閉包的幾個著名問題密切聯繫的性質；研究與代數幾何中的乘子理想層有深刻聯繫的檢驗理想；研究乘子理想層的局部性質。預期在Satnley猜想和乘子理想層的局部性質的研究方面會取得重要進展。本項目緊跟國際前沿，研究代數又注重套用和幾何背景，具有明顯的特色。

結題摘要

本項目計畫研究與組合和代數幾何有關的交換代數的課題。根據年度研究計畫，在有組合背景的課題方面，主要研究了Stanley-Reisner環等一些交換分次環及無平方單項式理想的Stanley深度和Cohen-Macaulay等性質；在由代數幾何中問題產生的交換代數局部性質方面，主要研究了乘子理想的性質。項目所取得的成果都在重要數學雜誌上公開發表。在基金的資助下，本項目共發表論文12篇，都發表在SCI數學雜誌上。 我們研究了與Stanley深度有關的問題，證明了在交叉積及bigsize為2等情形下，Stanley猜想是成立的，相關成果發表在J. Commut. Algebra和Canad. Math. Bull. 上。這些結果作為實例進一步豐富了何時Stanley猜想成立的研究成果。 正則度是重要的代數不變數，我們對理想的交與和等運算後的正則度與原理想的正則度之間的關係的研究方面取得了有意義的成果，對單項式理想的乘子理想的正則度的研究方面也取得了較好的成果，相關成果發表在Comm. Algebra和Czech Math. J.上。這些關於正則度的研究成果在交換代數及代數幾何兩方面都有學術意義。 對代數幾何中的乘子理想層的局部化所得到的交換環的乘子理想的系統研究中，我們得到了乘子理想達到最大和最小情形的充要條件；乘子理想的可實現性、穩定性，以及乘子理想的正則度的估計等結果。相關結果發表在Czech Math. J.，Indian J. Pure Appl. Math.和《中國科學：數學》上。這些結果對應於代數幾何中一些著名的結論，有較大的理論意義。 我們還對其他有代數幾何背景的交換分次環進行了研究。對多元多項式環的極大理想的第一合沖的對稱代數的性質進行了深入的研究，得到了它的維數、深度和重複度，以及正則度的一個可實現的上界。相關成果發表在Comm. Algebra和Ann. Mat. Pura Appl.上。我們對這類對稱代數的4個不變數的研究成果具體且完整，體現了較高學術水平。 由域上多項式的分次理想的方冪的Betti數所產生的Betti多項式是近年來的重要研究對象，我們在這方面進行了深入的研究。證明了在一定的條件下，這個多項式或者為0，或者為次數為特定值的多項式。同時，我們對Borel主理想時，具體計算了它的Betti多項式。有關結果發表在Comm. Algebra上。