向量球諧函式

向量球諧函式(Vector spherical harmonics)是套用於球坐標系的拉普拉斯方程式的向量解，是球諧函式的向量衍伸形式。在必須計算向量場的電動力學等領域中被廣泛套用。

基本介紹

• 中文名：向量球諧函式
• 外文名：Vector spherical harmonics
• 分類：數理科學

定義

在球坐標系下，拉普拉斯算符作用在一三維向量場上可以寫為

利用分離變數法可以將此一方程式的解分解為一系列本徵函式的線性組合

其中的徑向解 與標量球諧函式相同，而 為一與角度相關的向量解，也就是向量球諧函式。

向量球諧函式依用途有很多定義方式。這邊我們依照 Barrera 等人的定義，以對球諧函式Y_ℓm(θ,φ)為基礎，將三個向量球諧函式表示為

這邊 是對應球座標(r,θ,φ)的向量，而 則為其單位向量。

主要特性

依照上述 Barrera 的定義，向量球諧函式有以下特性：

對稱性

與球諧函式相同，向量球諧函式有對稱性

星號 * 代表共軛函式。

正交性

三種向量球諧函式彼此兩兩正交

另外同種類的球諧函式的內積為：

標量場的梯度

對一個標量場 ，若其多極展開可表示為：

則其梯度可以向量球諧函式表示為：

散度

三種向量球諧函式之散度分別為：

其中 為球諧函式之徑向分布， 為球諧函式。

旋度

三種向量球諧函式之旋度分別為：

其中{\textstyle f(r)}為球諧函式之徑向分布

運用

電動力學

在沒有源的空間中，麥克斯韋方程組可以被簡化為

此處是電場，是H場，是介質中的波數。

因為向量球諧函式可以很正確的描述簡化後的電磁場方程式，所以在電動力學中，向量球諧函式獲得廣泛的利用。常見的套用如多極輻射或米氏散射等。