吉文斯法

吉文斯法(Givens method)是正交分解法的一種。它線上性方程組Ax=b的兩邊施行一系列吉文斯變換將其變為等價的上三角方程組，然後求解上三角方程組而得到原方程組的解。這一方法的運算是豪斯霍爾德法的兩倍，但吉文斯法有較大的靈活性，特別當係數矩陣A有較多的零元素時，適當安排吉文斯變換的次序可使運算量大為減少。

基本介紹

• 中文名：吉文斯法
• 外文名：Given's method
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：線性方程組數值解法
• 別名：平面旋轉變換
• 定義：正交分解法的一種

基本介紹

雅可比法是利用矩陣對角化的方法得到實對稱矩陣A的特徵值問題的解，它是基於坐標旋轉概念的一種疊代法，且當A的對角元素為主元時十分有效。吉文斯法是基於坐標旋轉概念的另一種方法，二者相比，吉文斯法實際上不能得出特徵值問題的解而只是把實對稱矩陣A簡化成三對角形式。關於三對角矩陣特徵值問題的解必須用另一種方法得到。吉文斯法的顯著優點是簡化成三對角形式時不需要進行疊代，而只需要有限的幾步運算。

雅可比方法(Jacobi's method)，它系統地消除矩陣的非對角項，將對稱矩陣轉化為對角陣。遺憾的是，由於每消去一個非零元素的同時，常會將之前為零的元素變成非零的，因此該方法所需要的運算元是無窮多次。儘管經過有限次數的運算之後，矩陣的非對角元素仍不可能完全為零，但矩陣最終將收斂到對角型。因而，雅可比方法需要反覆疊代，直到非對角項“足夠”少為止。

吉文斯法(Given's method)也是一種將對稱矩陣轉化為簡單形式的方法。與雅可比方法不同的是，該方法所對應的簡單形式是三對角陣。另一個不同之處在於，吉文斯法只在殘餘的非對角位置產生零元素。因此，它所需要的運算元是有限的，從而比雅可比方法的效率更高。

豪斯霍爾德法(Householder's method)也是一種將對稱矩陣轉化為三對角形式的方法。這種方法的運算元是有限的，並且，由於它同時將整行和整列的非對角元素變成零元素，所以它比吉文斯法更為高效。

一旦用吉文斯法或豪斯霍爾德法將矩陣化為三對角系統，那么剩下的工作就是求出特徵值。比較直接的做法是，將行列式展開，從而得到一連串的多項式，通過疊代可以求出特徵值。

除了對稱矩陣之外，一般矩陣的所有特徵值也可以通過許多方法求解。它們包括：Rutishauser 的LR 方法(LR method)和Francis的QR 方法(QR method)。雖然QR方法的效率相對低一點，但由於它更加穩定，所以通常是優先使用的。如此，該方法被認為是最通用的求解方法。

最後要提到的一點是，上述方法通常是結合它們各自的特點來使用的。例如，吉文斯法和豪斯霍爾德法也可用於非對稱矩陣，不過所得結果不是三對角陣，而是一類被稱為海森伯格型(Hessenberg form)的特殊形式。另有一種方法利用了豪斯霍爾德法的速度優勢，即先用豪斯霍爾德法將矩陣轉化為三對角形式，再根據穩定的QR算法來求解特徵值。

吉文斯變換

吉文斯變換(Givens transformation)亦稱平面旋轉變換，數值代數的基本工具之一，它是一種正交變換，最常用的吉文斯變換是使變換後的向量的某個分量(例如第k個)變為零。

設，則變換

或

是平面上向量的一個旋轉變換，其中

為正交矩陣。

中變換

其中，而

稱為中平面的旋轉變換，也稱為吉文斯變換，稱為平面旋轉矩陣。

顯然，具有性質：

(1) P與單位陣只是在位置元素不一樣，其他相同。

(2) P為正交矩陣。

(3)(左乘)只需計算第行與第行元素，即對有

其中。

(4)(右乘)只需計算第i列與第j列元素

利用平面旋轉變換，可使向量中的指定元素變為零。

定理 (約化定理)設，其中不全為零，則可選擇平面旋轉陣，使

其中。