可預測過程

可預測過程是數學中隨機過程里的一個概念。如果一個隨機過程在某個時刻的取值在這個時刻之前就可能可以知道（可測），那么就稱這個過程是可預測過程。

基本介紹

定義,性質,Doob-Meyer分解,參見,

定義

設有機率空間；測度空間，狀態空間；有序的指標集T： 可以是非負實數集
、有限時間集
或離散時間N；σ-代數F上的參考族；隨機過程 。
當指標集T是（可數的）離散集合，比如
時，
是可預測過程若且唯若對任意的
，
都是
-可測的隨機變數。通俗地說，只要完全掌握了這個隨機過程在 t=n時刻的所有信息，那么t=n+1時的取值就是確定的。
當指標集T是（不可數的）連續集合，隨機過程在一個特定時刻的取值是之前的取值的極限。

性質

  • 任意的左連續適應過程，或者一列左連續適應過程的（機率為1的）極限，都是可預測過程。實際上，可預測過程的集合就是所有左連續適應過程生成的σ-代數。
  • 任意關於可預測過程的可測函式仍然是可預測過程。
  • 只有在可預測過程上才能定義關於半鞅的積分。

Doob-Meyer分解

可預測過程可以用在分解半鞅過程上。Doob-Meyer分解定理說明，設
是一個（局部）下鞅，那么存在唯一的（局部）鞅
和單增的局部可積的可預測過程
，使得
舉例來說，設
是一個標準布朗運動過程，那么過程
就是一個下鞅，對應的分解是
。

參見

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