指數曲線預測法

用指數曲線法外推預測，又稱簡單外推法。指數曲線預測法是用指數函式曲線擬合預測對象的歷史統計數據，從而建立能描述其發展過程的預測模型，然後以模型外推進行預測的方法。屬於非性線趨勢外推預測法，是增長曲線預測法的一種形式。其適用條件是預測對象的增長趨勢近似於指數函式曲線，而且判斷它在預測期限內不會出現突然的變化。

指數曲線預測模型一般形式為：y=ae^bt，式中：y為預測值；t 為時間； a、b為模型參數 ；e為自然對數、等於2.718。

基本介紹

• 中文名：指數曲線預測法
• 外文名：Exponential curve prediction method、forecasting method of exponential curve
• 所屬學科：數學
• 別名：簡單外推法
• 相關概念：指數函式、最小二乘法等

基本介紹

用指數曲線法外推預測，方法比較簡單，故常稱為簡單外推法。指數曲線預測法是用指數函式曲線擬合預測對象的歷史統計數據，從而建立能描述其發展過程的預測模型，然後以模型外推進行預測的方法。屬於非性線趨勢外推預測法，是增長曲線預測法的一種形式。其適用條件是，預測對象的增長趨勢近似於指數函式曲線，而且判斷它在預測期限內不會出現突然的變化。

常用的其他增長曲線預測模型還有：龔伯茲曲線、邏輯曲線、對數拋物線和對數曲線等。

指數曲線預測的原理

指數曲線的微分方程是

式中： 一是預測變數；

一是時間；

一是比例常數 。

這一方程表明預測變數 的增長 與 達到的水平成正比，也就是其增長率 是常數。例如研究經濟現象時，當客觀社會經濟現象的發展變化，在一段時間裡其增長率近似固定不變時，我們就可以用指數曲線趨勢模型來擬合併預測，換言之，我們把某現象的時間數列觀察值取對數，得一新的數列，若新數列近似地成等差數列，則該現象的發展演變基本符合指數曲線規律。

大量研究表明，某種技術的發展，某種新產品的生產以及占領市場等社會發展的定量特點都符合指數增長規律，特別是在現象產生和發展初期，這一規律在數學上表現更為精確，預測更為有效。

指數曲線預測的模型

指數曲線預測模型一般形式為(圖像如圖（1）)：

式中： 一預測值；

t 一時間；

a、b一模型參數；

e一自然對數、等於2.718。

圖（1）

為建立預測模型，首先對指數曲線模型兩邊取對數，變換為：

令

變換為

用最小二乘法求解未知數a'和b，代入上式，輸入t值，計算出 。對 求反對數，得預測值 。

套用領域

指數曲線法主要用於研究事物在發生質變以前的發展速度與變化趨勢。適用於經濟技術特徵參數穩定增長且遠離極限值的各種經濟技術特性參數增長的預測。

使用條件

利用指數曲線預測法的條件：

(1)待預測的功能特性參數(如飛機速度、電路容量、計時精度、光源效率、產品產量、銷售量)與時間的關係必須符合指數增長規律；

(2)曲線斜率保持不變，這是因為特性參數未來的增長規律要與過去的增長規律完全相同；

(3)功能特性參數的預測區間必須遠離飽和點即極限值。

套用舉例

某商品1991年至1999年投入市場以來，市場總需求量統計資料如表1所示，試預測2000年的市場總需求量

表1 某商品市場總需求量資料

年份			1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999
總需求量(萬件)			165	270	450	740	1220	2010	3210	5460	9000

圖（2）某商品1991-1999年市場需求量散點圖

1.選擇預測模型

(1)描散點圖，根據散點圖分布來選擇模型。

根據圖（2）可以初步確定選擇指數曲線預測模型 作為預測模型。

(2)計算一階差比率(表2)，並結合散點圖最後確定選擇哪一種模型。

表2 指數曲線模型差分計算表

年份		1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999
總需求量(萬件)		165	270	450	740	1220	2010	3210	5460	9000
一階差比率		—	1.64	1.67	1.64	1.65	1.65	1.55	1.75	1.65

由表2可知，觀察值 的一階差比率大致相等，符合指數曲線模型的數字特徵。

通過以上分析可知，所給統計數據的圖形和數宇特徵都同指數曲線模型相符，所以，可以選用 作為預測模型。

2. 求模型參數

先將觀察值 的數據進行變換，使其滿足 ，其變換數據如表3所示。

表3 觀察值數據轉換表

年份		1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999
時間序列		1	2	3	4	5	6	7	8	9
		5.11	5.60	6.11	6.61	7.11	7.61	8.05	8.61	9.11

經計算得

根據直線預測模型公式得：

所以，所求指數模型為：。

3．預測2000年的總需求量為：

(萬件)