可測集值映射

可測集值映射(measurable setvalued mapping)是可測函式集的推廣，單值映射有多種可測性概念，對於集值映射更是如此。最常用到的是下述定義，設(T，C)是可測空間，其中T為某個集合，C為T中的可測子集族，X為拓撲空間，F：T→2為集值映射，若對於X中每一開集U，

F(U)={t∈T|F(t)∩U≠∅}∈C，則稱集值映射F為可測的。

基本介紹

• 中文名：可測集值映射
• 外文名：measurable setvalued mapping
• 簡介：可測函式集的推廣
• 別名：集值隨機變數或隨機集
• 相關概念：可測空間，集值映射等

基本介紹

設 是可測空間，其中T為某個集合， 為T中的可測子集族，X為拓撲空間， 為集值映射，若對於X中每一開集U， ，則稱集值映射F為可測的。可測集值映射也稱為集值隨機變數或隨機集。

當X是可分度量空間，且 具非空緊值時，集值映射F是可測的若且唯若F作為從T到 中的單值映射是可測的(其中 表示X的一切緊子集所成之族，h為豪斯多夫度量)，它等價於：對X中每個閉集A，

當(X，d)是可分度量空間，且 具非空完備值時，F的可測性等價於下述條件之一：

1. ，函式 是可測的。

2.F有一列可測單值選擇 使得

當X是局部凸可度量化可分向量空間，且具非空緊凸值時，F的可測性也等價於：，支撐函式是可測的，其中為X的對偶空間，對於與A⊂X，

相關定義及定理

定義1設為可測空間，X為拓撲空間，B(X)為X上的Borel代數。對集值映射，記F的圖

若有可測映射使得，則稱為F的可測選擇。

定義2 稱集值映射為強可測的，若任給；稱F為可測的，若任給開集。

定理1 設為可測空間，(X，d)為可分度量空間，為閉集值映射。考慮下列情況：

(1) ；

(2) F為強可測的；

(3)F為可測的；

(4) 為可測函式；

(5)(Castaing表示)存在一列F的可測選擇使得；

(6) F為圖象可測的，即：。

那么我們有如下結論：

(i) (1)(2)(3)(4)(6)；

(ii)當X還是完備的(即x是Polish空間)時，(3)(5)；

(iii)當X是Polish空間，為完備的可測空間，即上

存在一σ-有限的完備測度μ(即，若，則)，則(1)~(6)全部等價。

定理2 為可測空間，X為可分度量空間，為集值映射．則下列命題等價

(1) F為到度量空間的可測映射；

(2) F為強可測的；

(3) F為可測的。

定理3 為可測空間，X為可分Banach空間，為可測集值映射，則

(1) 可測；

(2) 可測;

(3) 可測，。