可測映射

可測映射是測度論中的一個數學概念，它是從一個可測空間到另一個可測空間的滿足一定條件的變換關係，與之相關的概念有可測空間、可測函式，它主要套用於抽象積分的變換方面。

基本介紹

• 中文名：可測映射
• 屬性：數學概念
• 基本釋義：在特定空間滿足一定條件的映射
• 歸屬學科：測度論
• 套用：抽象積分的變換

定義

設 和 是兩個可測空間， 是 的映射（簡記為： ）。如果對於一切 ，有 ，則稱 是 可測映射。

註：有些地方用 表示集類 ，用 表示 可測映射。

相關定義：

設 是實數域， ， 和 分別表示 及 上的 Borel 代數，令 是一可測空間， 是 的映射。如果 ，則稱 是 Borel 可測函式，簡稱可測函式。若進一步 只取實數，則稱 為實值可測函式。設 為複數域，則 稱為復值可測函式。

性質

性質1

設 和 是兩個可測空間， 為生成 代數的一集類。若 是 的映射，使得 成立，則f為可測映射。

性質2

設 為可測空間 上的一個數值函式，即取值於 ，則下列條件等價：

(1) 為可測函式

(2)

(3)

(4)

(5)

性質3

上實值（復值）可測函式全體構成實域（復域）上的一向量空間。

性質4

設 都為 上的可測函式：

(1) 為可測函式

(2) 若 處處有意義，則 為可測函式

(3)若 處處有意義，則 為可測函式