參量估計

參量估計(parameter estimation )用統計學中的估計理論，對接收端收到的混有噪聲和干擾的信號樣本，估計出有用信號參量(如振幅、頻率、相位、到達時間等)的方法。

基本介紹

• 中文名：參量估計
• 外文名：parameter estimation
• 套用學科：通信

簡介

常用的參量估計方法有最小平方誤差估計、極大似然估計和貝葉斯估計。最小平方誤差估計對信號和噪聲的統計知識可以不作任何要求。極大似然估計是以似然函式的概念為基礎。貝葉斯估計首先要給定隨機參量θ的機率密度函式和因估計誤差而帶來的代價 函式。貝葉斯估計是使平均風險為最小的估計(見估計理論）。

參量估計的目的是在有限個信號觀測量值中，以最佳方式估計該參量。

貝葉斯估計

準則：對不同的估計結果給出不同的代價，並使估計代價最小。

貝葉斯估計是將貝葉斯判決理論，推廣到對隨機參量估計的貝葉斯估計理論。

有關定義如下：

代價函式C：

若s是一參量，可在參量空間Ω中取值；

若 是估計量，可在判決空間A中取值。

稱C( ，S)是代價函式，它是 和s的實值函式，且滿足下列兩個條件：

⑴ C(s， )≥0，對所有的 ，S Ω

⑵ 對應於每個S Ω和C(s， )=0，在A中有一個最小的 。

風險函式(Risk function)

定義為代價函式的均值，即：

△ 貝葉斯估計－使風險函式最小的估計。

由於估計誤差 決定估計問題中估計質量的好壞，所以，通常僅對估計值與真實值之差 感興趣。若考慮誤差函式的代價，這時C可定義為(S- )的單變數函式，有下列三種情況：

(a) 平方誤差

(b) 絕對值誤差

(c) 均勻代價函式如圖1。

圖1

貝葉斯判據：平均代價最小，即 E(c)=min。

由於c是 的函式，而 又是觀察值x的函式，所以c就是x和s的聯合函式，所以有：

用後驗機率函式表示為：

令： ，R稱為條件風險函式。

下面針對三種代價函式分三種情況探討估計準則：

圖2

情況(a)： 平方誤差情況下，風險函式最小的估計量稱為最小均方估計(minimum mean square estimation)

其風險函式為：

圖3

由於：p(s,x)=p(s|x)p(x)

則風險函式為：

圖4

∵p(x)≥0故RMS最小即等效為上式括弧[ ]內項最小。

上式內項對求導，故有

則有：

圖5

由於

此即為最小均方估值，表示已知x時，s的條件均值。

圖6

情況(b)：

絕對值誤差情況下，風險函式如圖2：

上式括弧[ ]內項如圖3：

故RMS最小即等效為上式括弧[ ]內項最小。於是，可令上式對的導數為零，則有如圖4：

圖7

ABS估計應取在後驗機率密度函式面積的平分線上，即估值為條件機率密度函式的中值(median)。

——稱為後驗中值估計如圖5

情況(c)：

均勻代價函式

上式[ ]號中的後面一項如圖6：

當此式最大，即p(s|x)最大時，平均代價Runf最小。此時稱為最大後驗估值(Maximum a Posteriori)。

圖8

取對數，則有如圖7，既滿足圖8的條件。

最後，將三種情況估計式中後驗機率密度函式藉助於貝葉斯公式用先驗機率代替得到：

ABS估計如圖9：

圖9

MAP估計如圖10：

MS估計如圖11：

圖10

圖11

極大似然估計

設x1, x2,..., xN為隨機變數x的獨立同分布的N個觀測樣值，p(x|θ)為x的依賴參量θ分布密度函式，參量θ為待估計的量。則似然函式如圖12：

圖12

估計準則：選取使似然函式L(θ)為最大的作為θ的估計量，稱為θ的最大似然估計。

L (θ)最大等效ln L(θ)最大。要求θ的最大似然估計，必需解似然方程：

由於對數函式的單調性，取對數似然函式進行估計，則有：

此式為必要條件，而不是充分條件。

例5.1 在假設H1和H0下，接收信號為：

H1:Zk=m+vK, k=1,2,...N

H0:Zk= vK, k=1,2,...N

當常數m為未知時，求m的最大似然估計。

圖13

解：用前面的檢測理論是判決那個假設為真。

本節的估計理論，H1假設為真，vK為高斯噪聲。、本例中，參量估計=，其均值為m，接下來的步驟如圖13。

實例

以雷達系統為例，接收端收到的混有噪聲和干擾的信號樣本就是雷達目標的回波，通常可寫成Acos[2πf（t-t_r）+φ₀]，A是回波幅度；f是回波頻率；tr是雷達波發射時間和回波收到時間之差(通常稱為時延）。這些都是待估計的參量，包含著目標的散射待性、空間距離和運動速度等信息。雷達接收端的任務就是要按照數學規則，採用適當技術措施把這些混合信號變換成具有一定機率模型的信號，然後再按照設定的規則得到估計量。假設待估計的參量之一是θ，從對n個觀測數據的處理所得的估計量為 ， 一般也是一個隨機變數。估計量的好壞可用它的統計特性來表示。當θ為實際參量時，稱 與其真值θ之差為估計誤差，用 表示，即 =θ- 。如果 的期望值為零。即

或

表示估計量的期望值等於真值，稱為無偏估計。如果對同一參量用不同估計方法得出不同的無偏估計 如其中之一 的方差是所有估計量方差中最小的，並達到相應的下限時，則稱 為有效估計。如果對任一小的正數ε有下列機率的極限關係

則 稱為一致估計量。