原子布爾代數

原子布爾代數是一種特殊的布爾代數，設B是一個布爾代數，對於布爾代數B中每個非零元x，均存在某個原子a使a≤x成立，則稱B為原子布爾代數。有限布爾代數皆為原子布爾代數，含有n個原子的有限布爾代數共有2ⁿ個元素。可以證明：每一個原子布爾代數同構於一個集合代數；而每一個完備的原子布爾代數同構於一個冪集代數，這是著名的斯通表示定理的一種較弱說法。

基本介紹

• 中文名：原子布爾代數
• 外文名：atomic boolean algebra
• 所屬學科：數學（布爾代數）
• 簡介：一種特殊的布爾代數

基本介紹

設b是布爾代數中的非零元，如果對於布爾代數中的任何元素x，只要x≤b就有x=b或x=0，則稱b是一個原子。

【例1】在非空集合A的所有子集組成的布爾代數P(A)中，原子就是單元素集{x}， 即僅由一個元素組成的集合。

如果一個布爾代數的每一個非零元x都有某個原子b滿足b≤x，則稱這個布爾代數為原子布爾代數，例1的布爾代數都是原子布爾代數。

相關定理

定理1 每一個有窮布爾代數都是原子布爾代數。

證明：給定該代數的一個非零元x₀，假設沒有原子b滿足b≤x₀，則特別的，x₀不是原子，因此有某一個非零元x₁使x₁≤x₀且x₁≠x₀，即0<x₁<x₀。由假設x₁不可能是原子，因此又存在一個非零元x₂滿足x₂<x₁。按這種方法繼續下去，我們得到一個序列x₀，x₁，x₂，…，滿足x₀>x₁>x₂>…。易知這個序列的所有各項是不同的，這與該代數僅有有窮個元素的事實相矛盾。

給定布爾代數B中的一個元素x，我們定義Ψ(x)為B中所有滿足b≤x的原子b所成的集合，顯然，Ψ(0)=∅，Ψ(1)是B中所有原子的集合。

引理2 在原子布爾代數B中，Ψ是1-1映射(即如果x≠y，則Ψ(x)≠Ψ(y))。

證明：假設x≠y，則xy或yx，比如說xy，這樣x∧y'≠0，因B是原子的，故存在一個原子b≤x∧y'，從而b≤x，所以b∈Ψ(x)，但是b≤y'，故b∉Ψ(y)(因為如果b≤y則b≤y∧y'=0，與b≠0矛盾)，所以Ψ(x)≠Ψ(y)。

定理3 含有n個原子的有窮布爾代數B有2ⁿ個元素。

證明：把B中所有原子的集合記為A。

由定理1，B=<B，∧，∨，'，0，1>是原子布爾代數，由引理2，Ψ是從B到P(A)(A的所有子集的集合)中的1-1映射，現在令C是A的任一子集，因為B是有窮的，所以A是有窮的，C也是有窮的，如此可設C=(b₁，...，b_k)，令x=b₁∨…∨b_k，則Ψ(x)={b₁，...，b_k)=C(因為對所有i，b_i≤b₁∨…∨b_k=x，故C∈Ψ(x)，另一方面，如果b∈Ψ(x)，則b≤x=b₁∨…∨b_k，因此b=b∧x=b∧(b₁∨…∨b_k)；(b∧b₁)∨…∨(b∧b_k)，如果b不同於所有的b_i，則每個b∧b_i=0，我們將有b=0∨…∨0=0，這是不可能的，如此，對某個i，b=b，即Ψ(x)⊆C)。這就證明了Ψ是B和集合P(A)之間的1-1對應，因A有n個元素，P(A)有2ⁿ個元素，因此B也必有2ⁿ個元素。

對於映射Ψ，我們還有下面的定理。

定理4 如果B是一個原子布爾代數，則Ψ是從B到布爾代數P(A)中的同構。如果B是有窮布爾代數，則Ψ是從B到P(A)上的同構。

推論5 任意兩個元素個數相同的有窮布爾代數是同構的。