在數學中，布爾格是與布爾代數有密切關係的一類格，一個有補分配格稱為布爾格，由一個布爾格〈L，≤〉可以誘導出一個布爾代數〈L，·，+，′，0，1〉，在布爾格〈L，≤〉中可以定義出兩個二元運算·，+：a·b=inf{a，b}，a+b=sup{a，b}，由於布爾格是有界格，因此它必有最大元和最小元，分別記為1和0，且有a·1=a，a+0=a，由於布爾格是有補格，故對任意元素a∈L，存在元素a′∈L，使得a·a′=0， a+a′=1，又由於布爾格是分配格，即有a·(b+c)=(a·b)+(a·c)，a+(b·c)=(a+b)·(a+c)，故〈L，·，+，′，0，1〉是由〈L，≤〉誘導出的布爾代數。
布爾格還指城鎮名。在今法國東部，臨雷蘇茲河。公元11世紀建為集市。1250年獲特許狀。15世紀初成為布雷斯省最大城市。今為安省省會。市記憶體有哥德式布魯教堂和16世紀建的聖母教堂。
基本介紹
- 中文名：布爾格
- 外文名：Boolean lattice
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：布爾代數
- 發現者：布爾(G.Boole)
- 簡介：一個有補分配格稱為布爾格
基本介紹,定義,相關定理,
基本介紹
布爾格是布爾代數的等價概念，布爾(G.Boole)研究命題演算時發現的，也是最早研究的格，有補的分配格稱為布爾格，若布爾格僅含一個元素，則稱為平凡布爾格，亨廷頓(E.V.Huntington)把布爾格表征為每一元a都有惟一的補元a′，且滿足(a∧b)′=a′∨b′和(a∨b)′=a′∧b′的格，若在布爾格(B；∧，∨)中把取補記成一元運算“′”，把0，1看做兩個零元運算，則(B；∧，∨)就成為布爾代數(B;∧，∨，′，0，1)；反之，若在布爾代數中把二元運算∧，∨看成是格運算，把一元運算“′”看成是格中的元取補元時，它就成為布爾格.因而常把布爾格與布爾代數等同起來。
定義
有補分配(complemented distributive)格定義
定理 設<A，≤，∨，∧>是一個有補分配格，A上每個元素都有唯一補元。
證明 有補格一定存在全上界1，和全下界0。有補格的每個元素至少有一個補元，因為格<A，≤，∨，∧>又是分配格，所以<A，≤，∨，∧>每個元素的補元唯一。
有補分配格上，每個元素的補元存在且唯一，此時元素x的補元可記為
。
布爾格(Boolean lattice)定義
若<A，≤，∨，∧，1，0>是有補分配格，則稱其為布爾格。
布爾代數(Boolean algebra)定義
設<A，≤>是一布爾格，將對A上每個元素的求補看成一元補運算“﹣”，則布爾格可記為<A，≤，∨，∧，﹣，1，0>，並稱<A，∨，∧，﹣>為布爾代數。
原子(atom)定義
設<A，≤，∨，∧，1，0>是有界格，
A上蓋住全下界0的元素被稱為A上的原子。
A上被全上界1蓋住的元素被稱為A上的反原子。
布爾格是有界格，任何布爾格A，|A|>2。必存在正原子和反原子。一般稱正原子為原子。全上界1和全下界0不是原子。
相關定理
定理1 設<A，≤，∨，∧，﹣>是任意布爾格，那么
，
以下十大定律成立：
對合律：
冪等律：a∨a=a
交換律：a∨b=b∨a
結合律：(a∨b)∨c=a∨(b∨c)
分配律：a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)
吸收律：a∧(a∨b)=a
同一律：a∨0=a
零律：a∨1=1
互補律：a∨
=1
De.Morgan律：
定理2 設<A，≤，∨，∧，﹣>是一布爾格，任意原子a∈A，與另一個非零元素b∈A之間，必有且僅有a≤b或a≤6兩者之一成立。
定理3 設<A，≤，∨，∧，﹣>是一有限布爾格，b∈A是任意一個非0元素，至少存在一個原子a∈A，使a與b同在一條鏈上。
