動量矩定理

動力學普遍定理之一，它給出質點系的動量矩與質點系受機械作用的衝量矩之間的關係。動量矩定理有微分形式和積分形式兩種。

基本介紹

• 中文名：動能矩定理
• 外文名：theorem of angular momentum
• 屬性：數學術語
• 相關：質點系、動量矩
• 分類：數學定理

基本定理

積分形式

設質點系中任一質點的質量為m_i，受外力的合力 和內力 的合力作用，加速度為 ，沿曲線軌跡運動到Q點時的速度為 （見圖）。

根據牛頓第二定律，有：

將式（1）向軌跡的切線方向投影，得式

因

，

代入式（2）可得：

。

上式可以改寫為：

式中為質點i的動能；和分別為質點i上外力和內力的元功。對於整個質點系則應為：

式中為質點系的總動能。對式（4）進行積分，可得：

式中T1，為質點系在過程開始時的動能；T2為質點系在過程結束時的動能。

式（5）是以積分形式表示的質點系的動能定理，它表明:質點系的總動能在某個力學過程中的改變數，等於質點系所受的諸外力和諸內力在此過程中所做功的總和。

微分形式

將式（4）兩邊除以dt，得：

式中為外力的功率；為內力的功率。

式（6）是以微分形式表示的質點系的動能定理，它表明；質點系的總動能隨時間的變化率等於質點系所受諸外力和諸內力在單位時間內所作功的總和。

質點是質點系的一個特殊情況，故動能定理也適用於質點。但是，對於質點和剛體，諸內力所做功的總和等於零，因為前者根本不受內力作用，而後者的內力則成對出現，其大小相等，方向相反，作用在同一直線上，且剛體上任兩點的距離保持不變，故其內力作功總和等於零。

其它相關

在某力學過程的時間間隔內，質點系對某點動量矩的改變，等於在同一時間間隔內作用於質點系所有外力對同一點的衝量矩的矢量和。

對剛體繞定軸z以角速度ω轉動(轉動慣量為Iz)的情況，可投影到z軸上。

即在某一時間間隔內,剛體對z軸動量矩(Izω)的改變,等於在同一時間間隔內作用於剛體上所有外力對 z軸的衝量矩的代數和。

質點是質點系的一個特殊情況，故動量矩定理也適用於質點。

對質心和加速度瞬心使用動量定理時，與對固定點的動量定理具有相同的形式；對質心使用動量矩定理時，無論相對動量的動量矩定理還是絕對動量的動量矩定理，都同對固定點的動量矩定理具有相同的形式；對速度瞬心和速度方向與質心的相對速度相平行的動點，使用絕對動量的動量矩定理以及對加速度瞬心和加速度方向與質心的相對位矢相平行的動點使用相對動量的動量矩定理時，也可得到同對固定點的動量矩定理具有相同的形式；對質心和速度瞬心以及速度方向與質心的相對速度相垂直的動點的動能，都與對固定點的動能形式相同；對質心和加速度瞬心的動能定理與對固定點的動能定理也具有相同的表達形式。