動力學模型與擴散

《動力學模型與擴散》是依託清華大學，由陳麗擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：動力學模型與擴散
• 依託單位：清華大學
• 項目負責人：陳麗
• 項目類別：面上項目

項目摘要

傳統的生物數學模型來自於經驗式的具有擴散效應的偏微分方程組，其參數設定來源於實驗數據。近年來隨著生命科學的高速發展，很多生物現象不能簡單的由此類傳統模型描述。套用數學家們提出了一類基於微觀動力學模型的研究方法，其研究思路類似於數學物理，將生物個體看作是粒子，給出多粒子的運動學方程，然後通過尋求其平均場極限得到動力學的介觀方程,一種統計力學方程。進而通過考慮各種奇異極限導出具有流體力學方程組性質的偏微分方程組。本項目旨在研究整個極限過程的幾個特定問題，包括微觀動力學模型在非Lipschitz連續勢的情形，測度解的存在唯一性以及其大時間行為，PTW和PTWA模型的蜂擁現象和平均場極限問題，由PTWA導出的流體力學類方程的適定性問題，退化Keller-Segel方程組解的整體存在與爆破問題。期望能夠解決一些這個近幾年來研究生物數學的新方向中的關鍵性問題。

結題摘要

本項目就近年來生命科學及數學生物學領域提出的一大類數學模型進行了系統的理論分析，其中包括描述細胞運動的多粒子運動學模型（有界Lip連續的作用勢以及具有奇性的相互作用勢情況），由其導出的介觀Vlasov型的模型以及進而經過奇異極限導出的巨觀擴散模型。特別需要指出的是，本項目一方面解決了由具有cut-off的奇異相互作用勢的粒子運動學模型到非cut-off作用勢的Vlasov型模型平均場極限的嚴格證明，另一方面對於相應的擴散模型（包括帶驅化效應的Keller-Segel方程組以及帶有Fisher-KPP反應項的擴散方程）給出了完整的解的適定性理論，尤其是給出了高維情形關於解的存在與爆破的嚴格劃分標準。項目的結果大部分已經在頗有影響力的學術期刊發表，為生物數學中動力學模型方面的發展提供理論基礎。