勒貝格-康托爾函式

勒貝格-康托爾函式是由格奧爾格·康托爾創立的，他創立了現代集合論，是實數系以至整個微積分理論體系的基礎，還提出了勢和良序概念的定義；康托爾確定了在兩個集合中的成員，其間一對一關係的重要性，定義了無限且有序的集合，並證明了實數比自然數更多。康托爾對這個定理所使用的證明方法，事實上暗示了“無限的無窮” 的存在。他定義了基數和序數及其算術。康托爾很清楚地自知自覺他的成果，富有極濃厚的哲學興趣。康托爾提出的超越數，最初被當時數學界同儕認為如此反直覺-甚至令人震驚-因而拒絕接受他的理論，且以利奧波德·克羅內克為首的眾多數學家長期攻擊。克羅內克反對代數數為可數的，而超越數為不可數的證明。

基本介紹

• 中文名：勒貝格-康托爾函式
• 領域：數學

數論，三角級數和序數

康托爾的前十篇論文題目是關於數論。在哈勒大學教授愛德華海涅的建議下，康托轉向分析。海涅提出了困惑著Peter Gustav Lejeune Dirichlet、Rudolf Lipschitz，Bernhard Riemann和海涅自己的問題：如何呈現三角級數的建構函式的唯一性質？康托爾在 1869年解決了這個難題，而在研究這個三角級數唯一定理的時候，他發現了超限序數，出現在對於三角級數的集合S，其下標為n的第n個索引的導出集合S_n之中。

1870 至 1872年之間康托爾發表了更多關於三角函式的論文，並且還將無理數定義為有理數的收斂序列。戴德金引用了這篇論文，並在他的論文中首次提出了戴德金切割的實數定義。即使康托爾革命性地以無限基數的概念來擴大集合概念的同時，他卻自相矛盾地反對同期數學分析學者 Otto Stolz 和 Paul du Bois-Reymond 的無限小理論；康托爾還發表了一個錯誤的“證明”，試圖證明無窮小量的不一致性。

集合論

一一對應和對角線證明方法

康托爾提出了通過一一對應的方法對無限集合的大小進行比較，並將能夠彼此建立一一對應的集合稱為等勢，即可以被認為是“一樣大”的。他引入了可數無窮的概念，用來指與自然數集合等勢的集合，並證明了有理數集合是可數無窮，而實數集合不是可數無窮，這表明無窮集合的確存在著不同的大小，他稱與實數等勢（從而不是可數無窮）的集合為不可數無窮。原始證明發表於 1874年，這個證明使用了較為複雜的歸納反證法。1891年他用對角線法重新證明了這個定理。另外，他證明了代數數集合是可數集，以及 n維空間與一維空間之間存在一一對應。在上述理論的基礎上，康托爾又系統地研究了序數理論，提出了良序定理，即可以給任何集合內的所有元素定義一個大小關係，使得任意兩個元素都可以比較大小，且該集合的任意子集都有最小元素。

連續統假設

參見：連續統假設

康托爾晚年致力於證明他自己提出的連續統假設，即任意實數的無窮集合或者是可數無窮或者是不可數無窮，二者必居其一，但沒有成功。

絕對無限的，有序的定理和悖論