加三碼

加三碼(Excess-3/XS-3)是一種二進碼十進數，也叫Stibitz code，是一種互補BCD碼和記數系統。XS-3 用於一些老式計算機上和暫存器上，以及上世紀 70 年代的手持便攜電子計算器中。

基本介紹

• 中文名：加三碼
• 外文名：Excess-3
• 領域：通信工程

簡介

加三碼(Excess-3/XS-3)是一種二進碼十進數，也叫Stibitz code，是一種互補BCD碼和記數系統。

XS-3 用於一些老式計算機上和暫存器上，以及上世紀 70 年代的手持便攜電子計算器中。XS-3 用預先指定的數字N作為偏重值(biased value)來表示數值，非加權(nonweighted)。此類並稱XS-N。在 XS-3 中，每位數字表示為該位原數值加三的四位(bit)二進制數。亦即，XS-3 等同於十進制數自身加三，再轉化為二進制形式。

表1

Decimal	Binary	Decimal	Binary	Decimal	Binary	Decimal	Binary
−3	0000	1	0100	5	1000	9	1100
−2	0001	2	0101	6	1001	10	1101
−1	0010	3	0110	7	1010	11	1110
0	0011	4	0111	8	1011	12	1111

二進碼十進數

二進碼十進數（英語：Binary-CodedDecimal，簡稱BCD，通常稱為BCD碼或二-十進制編碼）是一種十進制數字編碼的形式。在這種編碼下，每個十進制數字用一串單獨的二進制比特來存儲與表示。常見的有以4位表示1個十進制數字，稱為壓縮的BCD碼（compressed or packed）；或者以8位表示1個十進制數字，稱為未壓縮的BCD碼（uncompressed or zoned）。

這種編碼技術，最常用於會計系統的設計里，因為會計制度經常需要對很長的數字做準確的計算。相對於一般的浮點式記數法，採用BCD碼，既可保存數值的精確度，又可使電腦免除作浮點運算所耗費的時間。此外，對於其他需要高精確度的計算，BCD編碼亦很常用。

BCD碼的主要優點是在機器格式與人可讀的格式之間轉換容易，以及十進制數值的高精度表示。BCD碼的主要缺點是增加了實現算術運算的電路的複雜度，以及存儲效率低。

常用BCD編碼方式

對應不同需求，各人亦開發了不同的編碼方法，以適應不同的需求。這些編碼，大致可以分成有權碼和無權碼兩種：

1. 有權碼，如：8421（最常用）、2421、5421。
2. 無權碼，如：餘3碼、格雷碼。

8421碼

8421碼又稱為BCD碼，是十進制代碼中最常用的一種。在這種編碼方式中，每一位二值代碼的“1”都代表一個固定數值。將每位“1”所代表的二進制數加起來就可以得到它所代表的十進制數碼。因為代碼中從左至右看每一位“1”分別代表數字“8”“4”“2”“1”，故得名8421碼。其中每一位“1”代表的十進制數稱為這一位的權。因為每位的權都是固定不變的，所以8421碼是恆權碼。

記數系統

概述

記數系統，或稱記數法或數制，是使用一組數字符號來表示數的體系。一個理想的記數系統能夠：有效地描述一組數（例如，整數、實數）；所有的數對應唯一的表示（至少有一個標準表示法）；反映數的代數和算術結構。

記數系統可以按照以下方式分類：按照進位制，可分為十進制、二進制、八進制等；按照寫法，可分為中文數字、阿拉伯數字、羅馬數字等。

歷史

在木頭、骨頭或石頭上的計數符號從史前時代就開始被使用了。石器時代的文化，包括古代印第安人，使用計數符號進行賭博、私人服務和交易。

在公元前8000年至前3500年間，蘇美爾人發明了使用粘土保留數字信息。他們的做法是將各種形狀的小的粘土記號像珠子一樣串在一起。從大約前3500年開始，粘土記號逐漸被數字元號取代。這些數字元號是使用圓的筆針刻在粘土塊上，然後燒制而成的。大約前3100年，數字元號與被計數的事物分離，成為抽象的符號。在前2700年至前2000年間，圓的筆針逐漸被一種尖的筆針取代，這種筆針可以在粘土上刻出楔形符號。這種楔形數字和圓形數字相似，並保留了符號數值記數法。這些記數系統逐漸演變成了一種常見的六十進制系統。這個系統是一種位置數值記數法，只使用豎向的楔形和人形兩種符號，而且能夠表示分數。這個系統在古巴比倫的初期（大約前1950年）得到了充分的發展，並成為巴比倫尼亞的標準。

上述六十進制系統是一種混合進位制系統，它的一個符號序列的不同位置上使用10和6兩個基數。這個系統被廣泛地套用於商業，同時也在天文學和其他計算中被使用。這個系統從巴比倫尼亞輸出，並傳遍了美索不達米亞，包括希臘，羅馬和埃及。我們仍然用它來計算時間（1小時=60分鐘）和角度（1度=60分）。

中國古代採用算籌記數，個位百位萬位等奇數位用縱籌，偶數位用橫籌，零用空位表示。有時，軍隊人數和供給品記數採用質數的算籌，並按照模算術運算。（參看：大衍求一術，中國剩餘定理）。模算術的好處在於，儘管其加法相對困難，但乘法很容易。這使得模算術很適合軍需品的計算。在現代，同樣的模算術有時用於數位訊號處理。

羅馬帝國使用臘、紙草、和石頭上的割符，大致遵從希臘人將字母對應不同數的習慣。羅馬數字在歐洲被普遍使用，直到1500年代進位制開始流行。

中美洲的瑪雅數字採用20或18為基數的系統，可能繼承自奧爾梅克文明，它包含了位置數值記數法和零這樣的高級屬性。他們將此用於高級的天文計算，包括高精度的太陽年長度和金星軌道的計算。

印加帝國採用奇普，一種打結的帶顏色的繩子來記數。關於使用結和顏色來編碼的知識被西班牙征服者於16世紀所擯棄，並因此失傳今天，簡單的結繩工具仍在安地斯山脈地區使用。

數位算術隨著中國的算盤的廣泛使用而開始。最早的書面數位記錄似乎是大約400年的算盤計算的結果。特別在大約932年，零已被中國數學家正確地表述了，並且似乎是因為採用一個圓圈表示沒有算盤珠子的那一位而產生的。

在印度，現代數位數字系統被傳給阿拉伯人。可能是和天文表格一起，這一系統被一位印度大使在約773年帶到巴格達。對於印度的數字系統的詳細討論，參看阿拉伯數字和印度數字。

從印度出發，伊斯蘭蘇丹們和非洲的旺盛貿易將此數字系統的概念帶到了開羅。阿拉伯數學家們將此系統推廣到十進制分數。在9世紀，花拉子密寫下了關於該系統的重要著作。隨著12世紀該著作在西班牙被翻譯和斐波那契的《計算書》在1201年的出版，該系統傳入歐洲。在歐洲，完整的帶零的印度系統是於12世紀由阿拉伯人帶來的。

二進制系統由萊布尼茲在17世紀傳播，萊布尼茲在他工作的早期形成了這一概念，並在閱讀中國的《易經》再次鞏固了這一想法。由於計算機的使用，二進制系統在20世紀變得更加普遍。