切映射

切映射是一種可微映射。微分流形之間的可微映射誘導出它們的切叢之間可微映射。

基本介紹

• 中文名：切映射
• 外文名：tangent map
  differential
  differential map
• 所屬學科：微分幾何
• 別名：微分

簡介

切映射是一種可微映射。微分流形之間的可微映射誘導出它們的切叢之間可微映射。

設f:M→N是微分流形M到N的可微映射，Tf:TM→TN，使得對於p∈M，

其中f_∗p是f在p∈M處的微分。此時稱Tf是f的整體切映射。

具體構造

設M,N為n維光滑流形，U為M的開集，p∈U，f:U→N為微分映射，v∈T_pM，φ∈𝓕N，f_*p:T_pM→T_f(p)N可定義為(f_*pv)[φ]=v[f*φ]=v[φ○f]。

性質

若記π₁:TM→M，π₂:TN→N均為叢射影，則f∘π₁=π₂∘Tf。

若f:M→N是微分同胚，則Tf:TM→TN亦然。因此，切叢是流形在微分同胚下保持不變的重要性質。

可微映射

設D是 中的一個區域， 是以D為定義域的映射， ，如果對於自變數

的增量 ，因變數 的增量 可以分解為

其中是一個陣，是m維空間中的向量，它的各分量均是比高階的無窮小量，則稱映射在點可微。

切函子

切函子T將光滑流形範疇Diff的態射，即光滑映射F打到整體切映射Tf。