冪零李群上熱核估計的幾個問題

冪零李群上熱核估計的幾個問題

《冪零李群上熱核估計的幾個問題》是依託武漢大學,由楊喬華擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

  • 中文名:冪零李群上熱核估計的幾個問題
  • 項目類別:青年科學基金項目
  • 項目負責人:楊喬華
  • 依託單位:武漢大學
項目摘要,結題摘要,

項目摘要

本項目主要研究冪零李群上的熱核估計以及以及帶Hardy位勢的熱核估計問題,這裡的位勢函式將分別由 Koranyi范和Carnot-Caratheodory 距離構成,並受Hardy不等式控制。旨在非H型冪零李群上建立類似於Heisenberg群情形的熱核估計;在一般的冪零李群上通過建立一系列關於Carnot-Caratheodory 距離的積分表示公式,來得到關於此距離的Hardy不等式以及最佳常數,並在此基礎之上考慮帶Hardy位勢的熱核估計問題。如果位勢函式由Koranyi范構成,將利用Koranyi范在光滑性與歐式空間的距離相同這一事實,採用類似於歐式空間情形的做法;如果位勢函式由Carnot-Caratheodory 距離構成,將通過群上熱核的解析性質,利用Coulhon和Filippas等人創立的方法做相應的估計。

結題摘要

本項目主要研究一類冪零李群上帶Hardy位勢的熱核估計問題,完備單連通負曲率流形上與測地距離相關的的Hardy不等式和Moser-Trudinger不等式,以及平面有界凸區域上的Hardy-Moser-Trudinger不等式. 首先, 熱核估計方面,我們證明了在有界區域上 關於Grushin運算元的Hardy不等式可以添加類似於Brezis–Vazquez, Vazquez–Zuazua 和Filippas–Tertikas的餘項. 利用該不等式以及由Filippas和Tertikas發展的方法,不難驗證Grushin運算元帶Hardy餘項的熱核估計。從而H型冪零李群上的相關問題由此不難得到。另外我們也證明了關於Grushin運算元的Sobolev不等式可以添加到極值函式之間距離的餘項。其二,我們在完備單連通負曲率流形M上建立了最佳的Hardy不等式。同時在該流形上建立了一類Moser-Trudinger不等式,包括了有界和無界兩種情形。進一步,組合上述兩種結果,我們在該流形上得到了一類插值不等式,此類插值不等式與Hardy不等式和Moser-Trudinger不等式相關。並且,所有上述不等式中的常數都是最佳的。最後,Wang 和 Ye在文獻 [Adv. Math. 230 (2012) 294-320]中猜測,在一個正則的有界凸集上存在某種Hardy-Moser-Trudinger不等式。利用黎曼映照定理,我們在任一有界凸集上證實了他們的猜測,並且不需要對邊界做任何正則性假定。

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們