共軛點

共軛點是一類特殊的點。指數映射的奇點的像。黎曼流形上兩個點的共軛關係是對稱的，即：若點 p 是 x 點共軛點，則 x 也是 p 的共軛點。

基本介紹

• 中文名：共軛點
• 外文名：conjugate point
• 適用範圍：數理科學

簡介

共軛點是一類特殊的點。指數映射的奇點的像。

設 M 是完被黎曼流形， 指數映射 的奇異點 稱為 x 的（切）共軛點。奇異值 稱為點 x 沿測地線 共軛點。點 x 的共軛點點集合稱為點 x 點共軛軌跡（相應地，有點x 的（切）共軛軌跡）。根據定義， ，使得

若 是點 x 的一個（切）共軛點，則

是 的子空間，其維數稱為共軛點 的重數，或稱為（切）共軛點 v 點階。

判斷準則

共軛點的判斷準則是：是 是點 沿著連線 x 和 p 點測地線γ 的共軛點，若且唯若存當沿γ 定義和非零雅可比場 J，使得 J 在兩端 x，p 的值為零。

於是，黎曼流形上兩個點的共軛關係是對稱的，即：若點 p 是 x 點共軛點，則 x 也是 p 的共軛點。在從 x 引出的測地線γ 上存在點x 的共軛點，破壞了該測地線作為最短線的性質。

確切地說，若在測地線段 的內部含有點 沿γ 的共軛點，則該測地線段不是連結 x 和 的最短測地線。根據共軛點的判斷準則，共軛點的存在性與黎曼流形的截面曲率有關。若 M 的截面曲率恆非正，則 M 上任意一點都沒有共軛點。若完備黎曼流形 M 的里奇曲率有正的下界，則 M 上任意一點 x 沿著從 x 出發的每一條測地線上都有共軛點。

若完備黎曼流形 M 在點 x 點共軛軌跡是空集，則指數映射 是可微同胚，即 M 可微同胚於歐氏空間 。