兩平面相交

兩平面相交(intersection between two planes)是兩平面間的一種位置關係，如果兩個平面只有一條公共直線，就說這兩個平面有相交位置關係，簡稱兩平面相交。這兩個平面稱為相交平面，而這條公共直線稱為這兩個平面的交線。

基本介紹

• 中文名：兩平面相交
• 外文名：intersection between two planes
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：立體幾何
• 簡介：兩個平面只有一條公共直線

基本概念

兩個不重合的平面有一個公共點，叫做這兩平面相交。

在兩個相交平面的交線上任取一點，經過此點在兩個平面內作交線的垂線，二垂線所夾的銳角成為兩平面的傾角。在兩相交平面之一內作直線與交線成直角，當此直線與另一平面成直角時，則稱兩平面相交成直角。

兩平面的交角是刻畫相交二平面位置關係的一個數。在空間直角坐標系中，兩平面：

相交所成二面角用∠(π₁，π₂)來表示，兩平面的法向量和的交角設為θ=∠()，則有∠(π₁，π₂)=θ或π-θ，故

位置分析

設兩平面的方程分別為

其法線向量分別為和。

兩平面平行

兩平面平行的充要條件：

即

用分量來表示為：

亦即

或

若，即，則平面的方程為：

即：

與平面β的方程一致，所以兩平面重合，由此我們看出：

兩平面平行的充要條件是

兩平面重合的充要條件是

兩平面相交的充要條件

即不平行，即

這時兩平面相交時所得直線的方程可用方程組

來表示。

兩平面的交角

圖1 兩平面交角

為了確定起見，規定兩平面組成的二面角中，不大於直角的為兩平面的交角，記作θ，如圖1，所成的夾角θ就是兩法線向量的夾角θ，即(圖1)，且

特別地，當時，， 故又可以得兩平面互相垂直的充要條件為