傅立葉逆變換

+∞ +∞ f(t)=1/2∏*∫ {∫f(u)exp(-iωu)du}*exp(iωt)dω -∞ -∞ 稱為傅立葉逆變換

中文名稱	傅立葉逆變換
英文名稱	inverse Fourier transform
定　　義	對一個給定的傅立葉變換，求其相應原函式f(t)的運算，即
套用學科	電力（一級學科），通論（二級學科）

對於非周期函式f(t),可以將它看成是某個周期函式fт(t)當т→+∞時轉化而來的。
即：

f(t)= limfт(t)(1)
т→+∞

由傅立葉復指數形式可得：

+∞ T/2
f(t)= lim 1/T *∑[∫fт(u)*exp(-inωu)du]*exp(inωt)(2)
T→+∞n=-∞ -T/2

令ωn=nω(n=0,1,2,…)，則有Δωn=ωn+1-ωn=2∏/T（此n是下角標），顯然，當т→+∞時，Δωn→0，故（2）式又可以寫成

+∞T/2
f(t)= 1/2∏*lim ∑[∫fт(u)*exp(-iωnu)du]*exp(iωnt)*Δωn （n是下角

Δωn→0 n=-∞ -T/2

標）（3）
記
T/2
Fт(ω)=∫fт(u)*exp(-iωu)du
-T/2

+∞
F(ω)=∫f(u)*exp(-iωu)du
-∞

則
+∞
f(t)= 1/2∏*lim ∑[Fт(ωn)*exp(iωnt)*Δωn （此n都是下角標）
Δωn→0n=-∞

顯然，當Δωn→0時，Fт(ωn)→F(ωn)

從而（此n都是下角標）
+∞+∞
f(t)= 1/2∏*lim ∑Fт(ωn)*exp(iωnt)*Δωn= 1/2∏*lim ∑F(ωn)*exp(iωnt)*Δωn（4）
Δωn→0n=-∞Δωn→0 n=-∞

分析一下：

首先看一下複變函數積分的定義，如下：
定義：設C為複平面上以A起點B為終點的光滑（或分段光滑）的有向曲線，函式ω=f(z)在C上連續，如果以分點A=z0,z1,z2,...,zn-1,zn=B將曲線C任意分成n個
n
小弧段，並在每個弧段zn-1zn(k=1,2,...,n)上任取一點ζk，作和式Sn=∑f(ζk)*Δzk,其中Δzk=zk-zk-1，記弧段

k=1

zn-1zn的長度ΔSk，λ=maxlim{ΔSk}，若不
1≤k≤n
論對C如何分法及ζk如何取法，極限

n
lim∑f(ζk)*Δzk
λ→0 k=1
存在，則稱該極限值為函式f(z)沿曲線C從A到B的積分，記為∫f(z)dz,即
c

n
∫f(z)dz= lim∑f(ζk)*Δzk
cλ→0 k=1
式中，f(z)為被積函式；C為積分曲線。

這樣就很明確了，(4)式中取的是弧段的起始點（ωn，F(ωn)*exp(iωnt）），就是弧段的起始點（ωn，F(ωn)*exp(iωnt））作為被乘數，這是符合複變函數積分定義的，定義中指出可以取任何一點，當然可以取弧段的起始點（ωn，F(ωn)*exp(iωnt））做被乘數。

（4）接下來是：
+∞+∞+∞
=1/2∏*∫F(ω)exp(iωt)dω=1/2∏*∫{∫f(u)exp(-iωu)du}*exp(iωt)dω--∞-∞-∞

以上是（5）式。
+∞+∞
=1/∏*∫∫f(u)cosω(t-u)dudω(6)
0-∞

解釋一下（5）到（6）的過程：
因為exp(iωt)對於u來說是常數可以和前面的函式合併，利用歐拉公式把expiω(t-u)展開，會得到一個帶有和i相乘的含有正弦函式乘積的函式在（-∞，+∞）的積分函式項。因為正弦函式的函式值是關於坐標原點對稱的，函式值的絕對值是完全相等的，但是符號相反，這樣帶有和i相乘的含有和正弦函式乘積的函式項在（-∞，+∞）的積分值為零，因為積分區間（-∞，+∞）可以分解成以縱軸對稱的（-∞，0]和[0,+∞)。另外，因為對於函式f(u)cosω(t-u)是對正數ω的偶函式，所以把積分區間改寫成了（0，+∞）並且把積分的函式乘以了2。於是就得到了（6）式。我不把計算過程寫出來了，那樣內容會太多的。
把（5）式單拿出來，

+∞+∞
f(t)=1/2∏*∫{∫f(u)exp(-iωu)du}*exp(iωt)dω
-∞-∞
稱為傅立葉逆變換，若記

⋌+∞
f(ω)=∫f(t)*exp(-iωt)dt這就是f(t)的傅立葉變換
-∞

+∞⋌
則f(t)=1/2∏*∫f(ω)*exp(iωt)dω這就是f(t)的傅立葉逆變換
-∞
至此，對傅立葉變換的來龍去脈已經闡述詳細了。
傅立葉變換的套用很廣泛，如在：《雷射原理》、《電路》，等等學科。