傅立葉光學(學科分支)

傅立葉光學是現代光學的一個分支，將電信理論中使用的傅立葉分析方法移植到光學領域而形成的新學科。在電信理論中，要研究線性網路怎樣收集和傳輸電信號，一般採用線性理論和傅立葉頻譜分析方法。在光學領域裡，光學系統是一個線性系統，也可採用線性理論和傅立葉變換理論，研究光怎樣在光學系統中的傳播。兩者的區別在於，電信理論處理的是電信號，是時間的一維函式，頻率是時間頻率，只涉及時間的一維函式的傅立葉變換；在光學領域，處理的是光信號，它是空間的三維函式，不同方向傳播的光用空間頻率來表征，需用空間的三維函式的傅立葉變換。

基本介紹

• 中文名：傅立葉光學
• 類別：現代光學的一個分支
• 研究內容：線性網路怎樣收集和傳輸電信號
• 用用領域：空間濾波、光學信息處理
• 方法：傅立葉分析方法

主要內容

60年代發明了雷射器，使人們獲得了新的相干光源後，傅立葉光學無論在理論和套用領域均得到了迅速發展。傅立葉光學運用傅立葉頻譜分析方法和線性系統理論對廣泛的光學現象作了新的詮釋。其主要內容包括標量衍射理論、透鏡成像規律以及用頻譜分析方法分析光學系統性質等；

套用領域

其套用領域包括空間濾波、光學信息處理、光學系統質量的評估、全息術以及傅立葉光譜學的研究等。

推導演示

是把通信理論特別是其中的傅立葉分析方法引入光學所形成的一個分支。一個光學信息系統和一個電學信息系統有許多相同之處，它們都是收集信息和傳遞信息，它們都有共同的數學工具──線性系統理論和傅立葉分析。從資訊理論角度,關心的是信息在系統中傳遞過程;同樣，對一個光學系統來講，物和像的關係，也可 以根據標量衍射理論由系統中光場的傳播來確定，因此光學系統可以看成一個通信信道。這樣，通信理論中已經成熟的線性系統理論可以用來描述大部分光學系統。當物體用非相干光照射時，在系統像平面上強度分布與物體上強度分布成線性（正比）關係。而用來描述電學系統的脈衝回響h(t，τ)概念，即系統對一窄脈衝δ(t)（狄喇克 δ函式）的回響，也可以用來描述光學系統，即用光學系統對點光源δ(x，y)的回響(點光源的像)h(x,y；ξ，η)來描述系統的性質，兩者的區別僅僅在於電學系統的脈衝回響是時間一維函式，光學系統的脈衝函式是空間二維函式，另外兩者都具有位移不變性，前者分布不隨時間位移而變，後者分布不隨空間位移而變（即等暈條件）。光學系統的脈衝回響又稱點擴展函式（見光學傳遞函式）。一旦系統的點擴展函式已知，系統對任意物體f(x，y)所成的像g(ξ,η)可以從物體上每個點源產生的點擴展函式的線性疊加求得。在空間位移不變情況下，疊加積分又可簡化為卷積。　空間頻率 　在資訊理論中,還常用頻率回響概念,即輸入各種不同頻率的信號,觀察系統相應的輸出,從頻率回響曲線可以了解系統對各種頻率的傳遞情況。在光學系統中同樣可以引入頻率回響的概念，所不同的是瞬時頻率回響由空間頻率回響所代替。與瞬時頻率是時間函式acosωt周期的倒

公式

公式

一樣，可以定義空間函式的周期d的倒數v=1/d(單位：線/毫米)為空間頻率。以最簡單的物體──光柵──為例，可用函式1+Acos(2πvx)表示，其中v=1/d，d是光柵常數。

根據傅立葉分析,任意複雜物體f(x，y)可寫成傅立葉變換關係式，

式中F(vx,vy)是物體的空間頻譜 。其物理意義是把複雜f(x,y)分解成許多簡單基元函

的線性組合, 而空間頻譜F(vx，vy)只不過是一個權重因子，把它加到各自基元函式上。基元函式可更形象地看成是一些不同取向〔θ=tg-1(vy/vx)〕、不同空間周期L=的光柵（圖1），而每一個這種光柵在物函式中所占比重用權重因子──空間頻譜F(vx，vy)所定。這樣，一個光學系統對f(x，y)的回響可分解為對各個基元函式的回響，再把每個回響疊加起來，便得到總的回響。同樣，可以寫出逆變換。

對已知物體f(x，y)可以算出它的空間頻譜分布。

透鏡的傅立葉變換性質 　從標量衍射理論知道，考慮旁軸近似條件，在菲涅耳衍射（近場）區內，孔徑平面(x，y)與觀察平面(ξ，η)上光場之間的關係為

稱為菲涅耳變換。式中f(x，y) 是衍射孔徑平面上光場振幅，g(ξ，η)是觀察平面上的光場振幅，с是常數位相因子，u=2πξ/λz，υ=2πη/λz是空間角頻率，z是平面之間距離。由上式可

互為傅立葉變換關係，其

是二次相位因子。當觀察平面遠離孔徑平面時，上式變為夫琅和費衍射(遠場)。

此時衍射圖像 g(ξ，η)為孔徑平面中光場分布f(x，y)的傅立葉變換,或稱為f(x，y)的空間頻譜。有趣的是一個薄凸透鏡的透過率函

公式

(其中 f為透鏡的焦距)正好與菲涅耳衍射中二次相位因子抵消,結果在透鏡的後焦平面上光場分布g(ξ，η)就變為 f(x，y)的傅立葉變換或空間頻譜。這時空間角頻率u=2πξ/λf，υ=2πη/λf，當入射光波波長λ和透鏡焦距f不變時，空間頻率vx=ξ/λf，vy=η/λf分別與後焦面上空間坐標ξ，η成比例。由此可見，凸透鏡的作用就是把遠處的夫琅和費衍射圖樣拉近到後焦面上。可以證明當孔徑平面放在透鏡的前焦面上時，常數相位因子消失，這時f(x,y)和g(ξ，η)之間有精確傅立葉變換關係(圖2)。

傅立葉光學

傅立葉光學

利用透鏡前後焦面上光場分布互為傅立葉變換的關係，可以分析各種圖像的空間頻譜，並對圖像進行識別和分類，利用透鏡的傅立葉變換性質經空間濾波，可以使一個光學系統具有數學模擬運算能力，被稱為“光計算機”。

空間濾波 　光學信息處理、相干光處理、信號處理、圖像處理以及圖像（或模式）識別等名稱都與相 乾光系統中空間頻率濾波有關。

公式

利用凸透鏡後焦面上顯示物的夫琅和費衍射圖樣的有趣事實，以及在透鏡的前後焦面上光場振幅互為傅立葉變換的關係，可用純光學方法十分方便地實現在數學上繁瑣的二維傅立葉積分運算。並把資訊理論中濾波概念引進到光學中，即不僅僅分析物的空間頻譜，還可通過濾波達到綜合的目的，與時間函式的頻譜可按某種方式來改變一樣，通過改變物函式的空間頻譜的方法以改變物的信息含量。這種傅立葉綜合在近代光學中已取得重要進展的例子有澤爾尼克相襯顯微鏡、光學匹配濾波器、合成孔徑雷達數據的光學處理、各種圖像增強技術、模糊圖像恢復等。

其實空間濾波這個概念不是新的，1873年E.阿貝在顯微鏡成像理論中已經提出了此概念。1906年A.B.波特用來驗證阿貝理論的實驗就是最早空間濾波實驗。20世紀50年代法國P. -M.迪費歐致力於把傅立葉積分套用於光學，A.馬雷夏爾通過振幅和相位濾波改善成像系統的傳遞函式,，使照片的質量得到了一定程度的改善（圖3）。他在這方面的成功引起了人們對光學信息處理的濃厚興趣。60年代，由於雷射器的出現，使相干光處理系統有了理想相干光源，空間濾波的研究工作得到了突飛猛進的發展。例如：掃描線和半色調網點的去除，反襯度增強、邊緣銳化、在相加性噪聲中提取周期信號、像差平衡、數據互相關、匹配濾波(圖像識別)、逆濾波（模糊圖像恢復）等。

相干光處理系統如圖4所示。雷射器輸出相干光經準直系統擴束後照明位於傅立葉透鏡L1的前焦面上的物函式，在後焦面上的光場是物函式的傅立葉頻譜，在此譜平面上放有振幅（光密度）或相位（光程）變化，或兩者都變化的空間濾波器，以改變物函式的傅立葉頻譜成分，經空間濾波後的傅立葉頻譜由第二透鏡L2進行傅立葉逆變換，並在像面上形成一處理後的圖像。

空間濾波器大致分為三類：振幅型、相位型和複數型。

最簡單的振幅型空間濾波器是低通、高通、帶通和方向濾波器等如圖5所示。在光密度上是二進制，即只有透明不透明兩部分組成。利用低通濾波器可以去掉圖像中的周期結構掃描線，因為圖像頻譜一般集中在零頻周圍，而周期結構（掃描線）的頻譜是對稱於零頻的周期結構譜，用低通濾波器讓圖像中零頻成分通過，又阻擋了周期結構譜，最後在像平面上顯示出消除了掃描線的圖像。類似地，方向濾波器可以提取某一方向間隔中的圖像信息，因而在地質數據的處理中十分有效,圖6為方向濾波加低通濾波去掉掃描線的例子。圖7為去除印刷網點的例子。除此之外，振幅濾波器還可以根據需要用照相膠片，嚴格控制光密度得到連續密度變化的濾波器，這種濾波器在反襯度增強、微分運算中有用。

最著名的相位空間濾波器是澤爾尼克相襯顯微鏡中的移相板，一般相位濾波器用真空蒸發鍍膜方法，或感光膠片經漂白處理製成。

複數型空間濾波器是指濾波器的振幅和相位兩者都需要變化，可以分別製作振幅和相位濾波器，然後組成一個復型濾波器。還可用全息術方法來做，即在頻譜面上拍攝物函式的傅立葉全息圖，它不僅記錄了頻譜的振幅，還記錄了頻譜的相位。用全息術製作復型空間濾波器是對光學信息處理的極大促進，利用全息濾波器可以進行匹配濾波、圖形相關、模糊圖像處理（見圖7）、像差平衡等。