分數階傅立葉變換

分數階Fourier變換是信號在時頻平面內坐標軸繞原點逆時針旋轉任意角度後構成的分數階Fourier域上的表示方法，是一種廣義的Fourier變換。

基本介紹

• 中文名：分數階傅立葉變換
• 外文名：Fractional Fourier Transform
• 提出時間： 1980年
• 提出者：V.Namias 

簡介

Fourier變換將相對獨立的時域和頻域聯繫起來，從整體上展示信號曾經出現過的頻率成分，適於分析確定性信號和平穩信號。而自然界實際存在的多是非平穩信號，於是人們提出了一系列新的時頻分析理論和方法，分數階Fourier變換為其中一種。

分數階Fourier變換是一種線性運算元。在時頻平面上若將Fourier變換看作從時間軸逆時針旋轉90度到頻率軸，則分數階Fourier變換運算元就是可旋轉任意角度的運算元，故可認為分數階Fourier變換是一種廣義的Fourier變換，如圖1所示。

圖1 分數階Fourier變換的時頻變換示意圖

由於光學設備很容易實現分數階Fourier變換，所以分數階Fourier變換首先在光信號處理中得到了廣泛的套用。後來分數階Fourier變換的離散化方法的提出，以及其快速計算的實現，分數階Fourier變換才有了在電信號處理中的套用。

隨著分數階Fourier變換基本理論的完善和發展，分數階Fourier變換已經廣泛套用到了雷達、聲納、通信等各個領域。

特點及優勢

從分數階Fourier域與時域、頻域間的關係可以看出，分數階Fourier變換實質上是一種同意的時頻變換，同時反映了信號在時域、頻域的信息，與常用二次型時頻分布不同的是它用單一變數來表示時頻信息，且沒有交叉項困擾。目前，信號處理領域對分數階Fourier變換的套用主要有如下6中方式，其實這也正好體現了分數階Fourier變換的6個特點：

（1） 分數階Fourier變換是一種統一的時頻變換，隨著階數從0連續增長到1，分數階Fourier變換展示出信號從時域逐步變化到頻域的所有變化特徵，可以為信號的時頻分析提供更大的選擇餘地；最直接的利用方式就是將傳統時域、頻域的套用推廣到分數階Fourier域以獲得某些性能上的改善；

（2）分數階Fourier變換可以理解為chirp基分解，因此它十分適合處理chirp類信號，而chirp類信號在雷達、通信、聲納及自然界中經常遇到；

（3）分數階Fourier變換是對時頻平面的旋轉，利用這一特點可以建立起分數階Fourier變換與時頻分析工具的關係，即可以用來估計瞬時頻率、恢復相位信息，又可以用來設計新的時頻分析工具；

（4）相比Fourier變換，分數階Fourier變換多了一個自由參數，因此在某些套用場合能夠得到更好的效果，如數字水印和圖像加密；

（5）分數階Fourier變換是線性變換，沒有交叉項干擾，在具有加性噪聲的多分量情況下更具優勢；

（6）具有比較成熟的快速離散算法，這既保證了分數階Fourier變換能夠進入數位訊號處理的工程實用領域，又可以以它為基礎為其他的分數階運算元或變換提供快速離散算法，如分數階卷積、相關及分數階哈特利變換等。