連續傅立葉變換

在數學中，連續傅立葉變換是一個特殊的把一組函式映射為另一組函式的線性運算元。 不嚴格地說，傅立葉變換就是把一個函式分解為組成該函式的連續頻率譜。 在數學分析中，信號f(t)的傅立葉變換被認為是處在頻域中的信號。 這一基本思想類似於其他傅立葉變換，如周期函式的傅立葉級數。（參見分數階傅立葉變換得到概況）

基本介紹

• 中文名：連續傅立葉變換
• 不嚴格地說：把一個函式分解為該函式的頻率譜
• 特殊情況：傅立葉坐標有時可用來代替
• 舉例：假設是一個復勒貝格可積的函式

舉例

假設是一個復勒貝格可積的函式。我們定義其連續傅立葉變換也是一個複函數:

對任意實數 (這裡是虛數單位)，

為角頻率，為複數，並且是信號在該頻率成分處的幅度和相位。

傅立葉變換是自反映射，若 如上定義，足夠光滑，則對於任意實數

每個積分前的為規範化因子。因子的選擇是主觀任意的，只要滿足二者的乘積為，如上取法稱為歸一化常數。另一種常見取法是前向方程和反向方程分別為和。粗略估計，數學家通常使用前者（由於對稱的原因），而物理學家和工程師們則常用後者。

特殊情況

另外，傅立葉坐標有時可用來代替，在頻率上積分，這種情況下，歸一化常數都變為單位。另一個主觀的常規選擇是，不管前向變換中的指數是還是，只要滿足前向和反向方程中指數符號相反即可。