《偏微分方程離散格式的控制問題》是依託北京師範大學，由鄭創擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：偏微分方程離散格式的控制問題
- 依託單位：北京師範大學
- 項目負責人：鄭創
- 項目類別：青年科學基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究線性偏微分方程時間離散和全離散差分格式的控制和其一致收斂問題。由於時間離散後偏微分方程化為一組橢圓差分方程，導致了方程性質的改變，而且由於偏微分方程的能控性的不適定，使得此類系統的控制問題面臨離散格式的適當選取、控制器的特殊性以及控制的收斂性等多重困難。首先我們藉助對偶方法把控制收斂問題轉化為其對偶系統的一致能觀不等式。 進一步，期望得到譜頻估計與一致能觀不等式的等價性。由此，通過對離散格式的譜頻估計的驗證，得到與之對應的離散控制問題的控制收斂性，從而解決離散格式控制收斂的相關問題。
結題摘要
本項目主要研究了具體的方程的各種性質，如四階薛丁格方程的能觀性、能控性、反問題等。利用乘子方法，我們先考察了線性四階薛丁格方程的能觀不等式，然後得到了對應控制方程的邊界能控性。進一步的，我們研究了半線性薛丁格方程的反問題。因利用Carleman乘子的方法過於複雜而無法處理高維情況邊界的混合項，我們首先得到了一維有界域上Lipschitz穩定性的反問題的正面結果。此結論已投稿待審核。另外，我們還研究了擬線性雙曲方程（淺水波方程）的精確非行波解的性態，並考慮了初值為控制的Stokes-Darcy方程的最優控制收斂問題。
