偏導運算元

設 X，Y，Z是賦范線性空間，Ω是 X×Y 中的開集，f:Ω→Z，(x₀,y₀)∈Ω。若對於固定的y₀，以x為變元的映射g(x)=f(x,y₀)在x0 F可微（相應地，G可微），則定義f在(x₀,y₀)關於 x 的偏 F 導運算元為f'x(x0,y0)=g'x(x0)。

基本介紹

• 中文名：偏導運算元
• 外文名：partial derivative
• 適用範圍：數理科學

簡介

偏導運算元是數學分析中偏導數概念的推廣。

關於x的偏導運算元

設 X，Y，Z是賦范線性空間，Ω是 X×Y 中的開集，f:Ω→Z，(x₀,y₀)∈Ω。若對於固定的y₀，以x為變元的映射g(x)=f(x,y₀)在x₀ F可微（相應地，G可微），則定義f在(x₀,y₀)關於 x 的偏 F 導運算元（相應地，偏 G 導運算元）為f'_x(x₀,y₀)=g'(x₀)。

關於y的偏導運算元

設 X，Y，Z是賦范線性空間，Ω是 X×Y 中的開集，f:Ω→Z，(x₀,y₀)∈Ω。若對於固定的y₀，以y為變元的映射g(x)=f(x₀,y)在y₀F可微（相應地，G可微），則定義f 在(x₀,y₀)關於 y 的偏 F 導運算元（或偏 G 導運算元）F'_y(x₀,y₀)=g'(y₀)。

性質

若 f 在(x₀,y₀)有F導運算元f'_x(x₀,y₀)，則 f 在(x₀,y₀)的偏 F 導運算元f'_x(x₀,y₀)與f'_y(x₀,y₀)存在，且這時成立公式

偏導數

在數學中，一個多變數的函式的偏導數，就是它關於其中一個變數的導數而保持其他變數恆定（相對於全導數，在其中所有變數都允許變化）。偏導數在向量分析和微分幾何中是很有用的。

設有二元函式 z=f(x,y) ，點(x₀,y₀)是其定義域D 內一點。把 y 固定在 y₀而讓 x 在 x₀有增量 △x ，相應地函式 z=f(x,y) 有增量（稱為對 x 的偏增量）△z=f(x₀+△x,y₀)-f(x₀,y₀)。

如果 △z 與 △x 之比當 △x→0 時的極限存在，那么此極限值稱為函式 z=f(x,y) 在 (x₀,y₀)處對 x 的偏導數，記作 f'_x(x₀,y₀)。同樣，把 x 固定在 x₀，讓 y 有增量 △y ，如果極限存在那么此極限稱為函式 z=(x,y) 在 (x₀,y₀)處對 y 的偏導數。記作f'_y(x₀,y₀)。