伴隨微分方程

伴隨微分方程(adjoint differential equation)是與給定微分方程有共軛關係的微分方程。這種伴隨關係具有對稱性。伴隨微分方程套用很多，例如套用於分析遞推辨識算法收斂性問題的ODE法中，討論辨識算法與伴隨微分方程的關係。

基本介紹

• 中文名：伴隨微分方程
• 外文名：adjoint differential equation
• 定義：與給定微分方程有共軛關係的方程
• 性質：對稱性
• 一級學科：數學
• 二級學科：線性常微分方程

簡介

伴隨微分方程(adjoint differential equation)是與給定微分方程有共扼關係的微分方程。對n階齊次線性常微分方程

稱

為式(1)的伴隨微分方程，稱M[y]為L[y]的伴隨微分式。反之，L[y]也是M[y]的伴隨微分式。在伴隨微分式之間成立等式

這裡N(y,z)是 的雙線性型

等式(3)稱為拉格朗日恆等式。等式(4)稱為拉格朗日雙線性型。如果能得到M[y]=0的p個獨立解，就可把原來方程L[y]=0的階數降低p階。當 時，就稱L[y]=0是自伴的(微分方程)。

對齊次線性一階常微分方程組

稱方程組

為方程組(5)的伴隨微分方程組。

辨識算法與伴隨微分方程的關係

考慮如下微分方程

如果，，則稱D_C為微分方程的不變集（invariant set）；如果，則稱為微分方程的平衡點，顯然；如果，則稱D_A為微分方程的吸收域（domain of attraction），顯然D_C⊂D_A。如果“D_A嚴格大於D_C”，則D_C是穩定不變集；如果“為D_A全平面”，則微分方程是D_C的“整體漸近穩定”。如果存在函式V(x)>0，∀ x，且V(x)是遞減的，即

及

則稱V(x)為微分方程的Lyapunov函式。也就是說，如果存在滿足上述兩式的函式V(x)，則微分方程時穩定的。

基於上述微分方程的穩定性概念，Ljung給出了關於辨識算法收斂性與伴隨微分方程穩定性之間的聯繫：

（1）設D_C是伴隨微分方程的不變集，且D_A為相應的吸收域，若辨識算法 （“充分經常，sufficiently often”），則模型參數估計值 。

（2）伴隨微分方程的平衡點可能是辨識算法的收斂點。

（3）伴隨微分方程 的運動軌跡是辨識算法 的漸近運動路徑。