仿微分運算元

仿微分運算元(para-differential operator)現代偏微分方程理論中一類很重要的運算元，是擬微分運算元的一種推廣。仿微分運算元理論是擬微分運算元理論的某種延伸，它們之間有許多相似及借鑑之處。

基本介紹

• 中文名：仿微分運算元
• 外文名：para-differential operator
• 套用學科：數學術語
• 範疇：數理科學
• 涉及：運算元
• 同類：擬微分運算元

概念

設 為歐氏空間 中的單位球面， 為 上的 運算元，則根據橢圓運算元的性質有

引理1：存在 上的 函式系 ，它滿足：

（1） 形成 中的完全標準正交系；

（2）每個 均為 的特徵函式： ；且當 時， 對某個正數 成立。

引理2：設 是 的齊 次函式，當 時，關於 為 ，且所有的 關於 屬於 ，則有球面調和分解

式中 為 函式， 關於 速降。 為齊 次，在 時屬於 ，而且對任意 ， 關於 是緩增的。

基本原理

設 滿足引理2中的條件，運算元 按下式定義：

其中 為 關於 的傅立葉變換，則稱 是以 為象徵的仿微分運算元。

若為有限項滿足引理2中的條件的函式之和，，則可相應地定義為。

由此可知，當象徵與無關時，仿積就是一類特殊的仿微分運算元。此外，如果在式子右邊略去截斷函式，則積分正是一個擬微分運算元作用於以後的傅立葉變換。所以，仿微分運算元可以視作擬微分運算元經過了某種“修正”而來，然而正是這一修正使仿微分運算元在非線性偏微分方程的研究中發揮了重大的作用，也正是由於這一修正，我們得重新詳細地考察這類運算元的運算法則以及運算元運算和象徵運算之間的關係。