仿積

仿積(paraproduct)是將乘積uv化為線性部分與光滑性更高的函式之和的一種運算元

基本介紹

  • 中文名:仿積
  • 外文名:paraproduct
  • 適用範圍:數理科學
簡介,具體內容,運算元,

簡介

仿積是將乘積uv化為線性部分與光滑性更高的函式之和的一種運算元
仿積概念由科伊夫曼(Coifman,R.R.)與邁耶(Meyer,W.)引進。邦尼(Bony,J.M.)則用來處理非線性微分方程問題。

具體內容

設u,v∈Hs或Cρ,它們有李特爾伍德-佩利二進分解:
於是
按j,k的相對位置改寫此和式如下:
其中
選N0適當大,使得
也是一個李特爾伍德-佩利二進分解,並且可以證明,只要u∈L,則線性運算元Tu:v→Tuv有Cρ→Cρ,Hs→Hs,且
由對稱性,線性運算元Tv有同樣性質。而當α+β>0(s+t>n/2)時,R:(u,v)→R(u,v)有
這樣一來,乘積uv可用Tuv+Tvu代替,而誤差項R(u,v)是光滑性更高的函式。如此得到的Tuv及Tvu稱為仿積,而Tu及Tv稱為仿積運算元。

運算元

運算元是一個函式空間到函式空間上的映射O:X→X。廣義上的運算元可以推廣到任何空間,如內積空間等。
廣義的講,對任何函式進行某一項操作都可以認為是一個運算元,甚至包括求冪次,開方都可以認為是一個運算元,只是有的運算元用了一個符號來代替所要進行的運算,和f(x)的f沒區別,甚至和加減乘除的基本運算符號都沒有區別,只是可以對單對象操作(有的符號比如大於、小於號要對多對象操作)。
又比如取機率P{X<x},機率是集合{X<x}(屬於實數集的子集)對[0,1]區間的一個映射,實數域和[0,1]區間是可以一一映射的,所以取機率符號P,認為也是一個運算元,和微分,積分運算元運算元沒區別。總而言之,運算元就是映射,就是關係,就是變換。

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