仿積運算元

簡介

仿積是將乘積uv化為線性部分與光滑性更高的函式之和的一種運算元。

仿積概念由科伊夫曼(Coifman,R.R.)與邁耶(Meyer,W.)引進。邦尼(Bony,J.M.)則用來處理非線性微分方程問題。

設u,v∈H^s或C^ρ，它們有李特爾伍德-佩利二進分解：

於是

按j，k的相對位置改寫此和式如下：

其中

選N₀適當大，使得

也是一個李特爾伍德-佩利二進分解，並且可以證明，只要u∈L^∞，則線性運算元T_u:v→T_uv有C^ρ→C^ρ，H^s→H^s，且

由對稱性，線性運算元T_v有同樣性質。而當α+β>0(s+t>n/2)時，R:(u,v)→R(u,v)有

這樣一來，乘積uv可用T_uv+T_vu代替，而誤差項R(u,v)是光滑性更高的函式。如此得到的T_uv及T_vu稱為仿積，而T_u及T_v稱為仿積運算元。

運算元是一個函式空間到函式空間上的映射O：X→X。廣義上的運算元可以推廣到任何空間，如內積空間等。

廣義的講，對任何函式進行某一項操作都可以認為是一個運算元，甚至包括求冪次，開方都可以認為是一個運算元，只是有的運算元用了一個符號來代替所要進行的運算，和f(x)的f沒區別，甚至和加減乘除的基本運算符號都沒有區別，只是可以對單對象操作（有的符號比如大於、小於號要對多對象操作）。

又比如取機率P{X<x}，機率是集合{X<x}（屬於實數集的子集）對[0,1]區間的一個映射，實數域和[0,1]區間是可以一一映射的，所以取機率符號P，認為也是一個運算元，和微分，積分運算元運算元沒區別。總而言之，運算元就是映射，就是關係，就是變換。