代數體函式的值分布

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《代數體函式的值分布》是系統介紹代數體函式值分布的一部專著,主要讀者為數學專業高年級本科生?研究生?教師以及相關專業的科技工作者。

內容簡介

《代數體函式的值乃鑽檔霉分布》主要介紹代數體函式的值分布,系統地闡述這一領域的基本理論和堡全鞏棵半個多世紀以來國內外的發展狀況和*研究成果。其內容包括代數體函式的Riemann 曲面?Nevanlinna 理論?Ahlfors 覆蓋曲面幾何理論與特徵函式和基本不等式?型函式?充滿圓及奇異方向?唯一性定理?正規族等。為了讀者閱讀料危方便,《代數體函式的值分布》最後還有一個附錄,對《代數體函式的糊兵漏值分布》涉及較多的束影漏覆蓋曲面理論和無窮乘積進行介紹。

圖書目錄

第1 章代數體函式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 結式及公因子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 多項式的結式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 孤立點定理說閥紙. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.2 代數盛鞏燥體函式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.2.1 代數體函式的定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 正則函式元素. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 函式元素的開拓. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.3.1 直接開拓. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.3.2 解析開拓. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.4 Riemann 曲面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 代數體函式決定的Riemann 曲面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2 奇異元素. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

1.5 零點與極點. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6 代數體函式類. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6.1 兩個代數體函式相等. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6.2 亞純開拓. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

1.6.3 導函式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

1.6.4 代數體函式的對應運算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

第2 章Nevanlinna 特徵函式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

2.1 亞純函式的Poisson-Jensen 公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2 Nevanlinna 第一基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.1 特徵函式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

2.2.2 第一基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 代數體函式的增長性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3.1 增長級與係數函式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3.2 整代數體函式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.4 分支點的估計. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

第3 章第二基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

3.1 Nevanlinna 第二基本定理及其套用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

3.1.1 Nevanlinna 第二基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.1.2 複合函式log f(z) 及對數導數定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.1.3 餘項定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

3.1.4 Milloux 定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.1.5 第二基本定理的套用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.2 關於導數的莊圻泰不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.3 關於小代數體函式的第二基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

第4 章Ahlfors 的幾何方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112

4.1 球面曲線與球面面積. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112

4.1.1 球極投影. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.1.2 球面上曲線的長. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.1.3 球面面積公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.2 改良的Ahlfors 基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.2.1 Ahlfors 型第二基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.2.2 角域內的基本不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.3 Ahlfors 特徵函式與Nevanlinna 特徵函式之間的關係. . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.3.1 格林公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.3.2 平均覆蓋次數的分析推導. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.3.3 Ahlfors 型第一基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.4 關於島的基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

第5 章型函式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144

5.1 一些引理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144

5.2 型函式的分類. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.2.1 Valion 有限級型函式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151

5.2.2 熊慶來無限級型函式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.2.3 零級型函式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

第6 章代數體函式的充滿圓及奇異方向. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

6.1 代數體函式的充滿圓. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163

6.1.1 有限正級情形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

6.1.2 無窮級情形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.2 代數體函式的奇異方向. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.3 涉及重值的代數體函式的充滿圓和奇異方向. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.4 代數體函式的最大型Borel 方向. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.4.1 最大型Borel 方向的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188

6.4.2 最大型Borel 方向上的充滿圓. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192

6.5 無奇異方向的代數體函式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

第7 章代數體函式的唯一性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

7.1 代數體函式的循環運算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

7.2 五值型定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

7.3 涉及重值?虧值的唯一性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212

7.4 代數體函式類中的唯一性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

7.4.1 Nevanlinna 型唯一性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

7.4.2 與導函式相關的唯一性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226

第8 章代數體函式的正規族. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

8.1 Hausdor? 距離. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

8.2 正規定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234

8.2.1 關於面積的正規定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

8.2.2 Montel 型正規定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

附錄. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

A.1 Euler 特徵數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

A.2 覆蓋曲面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

A.2.1 Riemann-Hurwitz 公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

A.2.2 Ahlfors 覆蓋曲面的定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

A.3 無窮乘積. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

A.3.1 收斂判別法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

A.3.2 典型乘積. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

參考文獻. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274

索引. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

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