代數法作圖(construction with algebraical method)是作圖方法的一種。不少圖形中未知元素和已知條件的關係可以用解析式表示，而有些解析式表示的幾何元素，又可以用幾何方法作出，這種先算出未知元素用已知條件表示的解析式，然後再根據解析式作圖的方法叫做代數法作圖。
基本介紹
- 中文名：代數法作圖
- 外文名：construction with algebraical method
- 所屬學科：數學，平面幾何
- 簡介：一種根據解析式作圖的方法
基本介紹,代數法解作圖題的步驟,常見表達式的形式,例題解析,
基本介紹
解作圖題時，往往首先歸納為求出某一線段長，而這一線段長的表達式能用代數方法求出，然後根據線段長的表達式設計作圖步驟，用這種方法解作圖題，稱為代數法作圖。
例如，求作一個正方形，使其面積等於已知△ABC的面積，該作圖的思路要點是：設△ABC的底邊為a，高為h(圖1)，此題關鍵在於求出正方形的邊長x，由題意，x2=a/2·h，所以x是a/2與h的比例中項(圖2)，於是，x可由代數基本作圖法做出，從而符合條件的正方形可以做出。
圖1
圖2代數法解作圖題的步驟
用代數手段求出某線段以解作圖題的方法，叫做代數作圖法。
代數法作圖一般有下列幾個步驟，
(1) 以字母表示某些已知的及未知的(欲求的)的量；
(2) 根據條件及已知定理，把已知量和未知量間的關係列成方程(或方程組)；
(3) 解此方程(或方程組)，求得用已知量表示未知量的解析式；
(4) 根據解析式，利用基本作圖，按步作出圖形。
常見表達式的形式
在許多作圖題里，要套用代數方法，以x,y,z,...表示未知線段；以a，b，c，...表示已知線段，根據題設的條件，或已知的定理列出方程，並解方程得到它的解，凡求得方程的根為以下形式的，都可以利用基本作圖法作出該未知線段。
(1)x=a+b，；（已知線段和）
(2)x=a-b(a> b)；（已知線段差）
(3)x=ma(m為正整數)；（已知線段的倍量）
(4)x=a/m(m為正整數)將am等分其中的一分就是x；（已知線段的分量）
(5)
即a:b=c:x；即求a,b,c的第四比例項
(6)x=
。即求a，b的比例中項
(7)x=
，即作一個以a, b為直角邊的直角三角形，它的斜邊就是x；
(8)
，即作一個以a為斜邊，以b為直角邊的三角形，它的另一條直角邊就是x。
例題解析
【例1】在△ABC中作一內接正方形.
已知：△ABC。
求作：內接正方形DEFG。
分析：如圖3。
圖3設 DEFG為所求作的正方形，EF=x，AH⊥BC，AH=h，BC=a。
根據相似三角形的關係有，
a:x=h:(h~x)，
∴ 
∵x可以作出，
∴正方形DEFG亦可作出。
作法:
(1)作線段
。
(2)作BC的平行線使它與BC的跑離為x，交AB、AC於G、F。
(3)過G、F作GD⊥BC、EF⊥BC，
則DEFG為所求之內接正方形。
證明: 由作法知GD⊥BC、EF⊥BC，
且GD= EF=
，
∴DEFG為矩形。
∵GF//BC，
則BC:GF= AH:(AH-PH)，
a:GF =
∴
故DEFG為所求之內接正方形。
討論：因為x可作，所以DEFG亦可作。
(1)三角形為銳角三角形時，有三解(正方形一邊分別落在a、b、c三邊上)。
(2)三角形為直角三角形時，兩解(正方形的邊落在直角邊時，只有一解；在斜邊上又有一解)；
(3)三角形為鈍角三角形時，只有一解(正方形一邊只能落在鈍角所對的邊上)。
注意：代數法作圖的關鍵是求出未知線段的表達式，且這個表達式能用幾何方法作圖。
已知線段
，若解析式x =f()運算的結果是單位線段a的一次齊次式，且其中僅有有限次加，減、乘、除、開平方五種運算，則此式對應的線段可用幾何方法作圖。
如，作線段
(a為已知線段)。
分析:只要將原式化為
凡是A是已知線段的零次齊次式，B是已知線段的一次齊次式，C是已知線段的二次齊次式，並且它們僅含有有限次加、減、秉、除、開平方五種運算，則當方程Ax2+Bx+C= 0的根為實數值時，這根的表達式是可作線段。
在代數法作圖時，凡是求作的線段符合.上述兩種情況，定能作出圖形。
