基本介紹
- 中文名：代數數論學
- 外文名：Algebraic number theory study
- 作用：是現代數學的最重要學科之一
- 成果：公開密約問題
- 預備知識：抽象(近世)代數，初等數論
學科簡介,入門,預備知識,學習內容,
學科簡介
她充滿誘惑力，有許多最受矚目的歷史著名問題。費爾馬大定理、高斯猜想(虛部分)，谷山豐猜想等最近相繼被攻克，都震驚了世界。還有高斯猜想(實部分)，克羅耐克青春之夢，朗蘭茲綱領等等許多出世高峰，在等待攀登者。
代數數論的成果廣受關注，對數學發展有重要理論意義，歷來獲得費爾茲獎(數學最高獎)等獎的很多。另一方面，其成果在計算機理論，資訊理論，保密通信，物理，等領域有十分深刻的套用(例如，公開密約問題中，目前最好的算法是代數數論中的橢圓曲線算法)。
代數數論的攀登之路,通向現代數學的最高峰(之一),所以說她“頂天”.
入門
代數數論的入門不算是太難。還是比較具體的，有路可循。例如，可以作關於2的平方根的性質的研究,具有直觀性。所以說，她是"立地"的---可以從腳下的地面開始，由近及遠，漸入佳境。而且在將來進一步的研究中，可研究的題目很多，只要努力得法，就可以在國內外發表研究論文，作出像樣的、豐富的、創造性的成果，甚至得到重要（大）成果。
預備知識
預備知識並不多（雖然將來代數數論涉及的知識很博大，但應當是在成長中逐步掌握。參體大樹是這樣長成的：一邊生根伸枝，一邊結果，終成參天大樹）。
預備知識兩門,都不需要很多:
(1)抽象(近世)代數：任何一本大學本科教材即可.
（2）初等數論:閔嗣鶴與嚴士健著"初等數論"即可
（或華羅庚的"數論導引"的前四章）。
學習內容
可以學張賢科著"代數數論導引"，S.Lang著AlgebraicNumberTheory?GTM110)，Silverman著TheArithmeticofEllipticCurves"(GTM106),等.
內容是，先學"代數數"的性質，"代數數"就是滿足某個多項式(方程)的複數，例如一個整數的平方根，三次方根等等。這些數一般不能用方根表示，也不能唯一因子分解（如果能的話，費爾馬大定理一百多年前就被證明了。這一點在1947年的法國科學院演成了激烈戲劇的歷史一幕）。因而引入"理想"的武器，"理想"可以唯一因子分解，由此可以證明費爾馬大定理的許多情形。學習了"理想"的許多性質(例如理想類數)之後，可以學習"橢圓曲線"理論，這是懷爾斯1994年證明出費爾馬大定理的主要手段。到這時，你就進入了現代數學的主流前沿了。
