交換圖表

簡介

在數學領域，尤其是範疇論中，通常使用以對象為頂點、態射為邊的交換圖表來直觀的表達一些性質，尤其是泛性質。

在圖表中，複合連線任意兩個對象的不同路徑上的態射，所得的結果均相等，則稱此圖表可交換。同時，按照慣例，實線通常表示任意給定的態射，虛線則表示存在或唯一存在的態射。

範疇論是數學的一門學科，以抽象的方法來處理數學概念，將這些概念形式化成一組組的“物件”及“態射”。數學中許多重要的領域可以形式化成範疇，並且使用範疇論，令在這些領域中許多難理解、難捉摸的數學結論可以比沒有使用範疇還會更容易敘述及證明。

範疇最容易理解的一個例子為集合範疇，其物件為集合，態射為集合間的函式。但需注意，範疇的物件不一定要是集合，態射也不一定要是函式；一個數學概念若可以找到一種方法，以符合物件及態射的定義，則可形成一個有效的範疇，且所有在範疇論中導出的結論都可套用在這個數學概念之上。

範疇最簡單的例子之一為廣群，其態射皆為可逆的。群胚的概念在拓撲學中很重要。範疇現在在大部分的數學分支中都有出現，在理論計算機科學的某些領域中用於對應資料型別，而在數學物理中被用來描述向量空間。

範疇論不只是對研究範疇論的人有意義，對其他數學家而言也有著其他的意思。一個可追溯至1940年代的述語“一般化的抽象廢話”，即被用來指範疇論那相對於其他傳統的數學分支更高階的抽象化。

數學上，態射（morphism）是兩個數學結構之間保持結構的一種過程抽象。

最常見的這種過程的例子是在某種意義上保持結構的函式或映射。例如，在集合論中，態射就是函式；在群論中，它們是群同態；而在拓撲學中，它們是連續函式；在泛代數（universal algebra）的範圍，態射通常就是同態。

對態射和它們定義於其間的結構（或對象）的抽象研究構成了範疇論的一部分。在範疇論中，態射不必是函式，而通常被視為兩個對象（不必是集合）間的箭頭。不像映射一個集合的元素到另外一個集合，它們只是表示域（domain）和陪域（codomain）間的某種關係。

儘管態射的本質是抽象的，多數人關於它們的直觀（事實上包括大部分術語）來自於具體範疇的例子，在那裡對象就是有附加結構的集合而態射就是保持這種結構的函式。

在數學的很多分支，經常用“在給定某些條件下存在唯一態射”這種形式的性質來定義一些構造。這種性質統稱為泛性質（英語：Universal property），有時也稱為萬有性。範疇論研究泛性質。