乘子定理(multiplier theorem)用來判別差集乘子存在性的定理。
基本介紹
- 中文名：乘子定理
- 外文名：multiplier theorem
- 提出者：霍爾(Hall M. Jr.)
.乘子定理有多種形式，以下的乘子定理也稱為第二乘子定理.設D是二階阿貝爾群G的(二，k,.1)差集，m是n=k-.l的一個與v互素的因子，且m>}l.若整數t與二互素，使得對m的每個素因子p存在相應的非負整數f，適合t三pf(modv")，其中v‘為G的指數，即使二一1對G中一切二成立的最小正整數。，則G的自同構二~了是D的數值乘子.該定理由曼(Mann, H. B.)於1965年得到.當G為循環群且}l -1時的較早形式由霍爾(Hall M. Jr.)得到.由於阿貝爾差集D的乘子必固定D的某個平移，所以，可由乘子定理作出一些差集或證明某些參數的差集不存在.例如，可做(11,5,2)循環差集如下:設這樣的差集存在，則3是D的一個數值乘子，不妨設3固定D，則D必為循環群Z,，的元素在自同構二~3x作用下的某些軌道的並.而Z1，的元素軌道為{0},{1,3,9,5,4}及{2,6,7,10,8}.於是，兩個軌道均是Z,，中的(11,5,2)差集.又例如，若存在循環(31,10,3)差集D，則7應是D的乘子，不妨設7固定D.但是，在自同構x->7x作用下Z31分成3個元素軌道，長度分別為1,15及15，這說明D不存在.在第二乘子定理中取m為素數p，可得到定理的特例(稱為第一乘子定理):設D是一個(二，k,.1)阿貝爾差集，p為素數，p}n,p'w，若p>}，則p是D的一個乘子.這個定理的證明依賴於條件p>.l，但事實上對每一個已知的阿貝爾差集，只要素數p是n的因子且不整除v，則一定是差集的乘子.因此，人們猜想第一乘子定理中去掉條件p >.l後結論仍成立.這個猜想稱為乘子猜想.
乘子定理說明，n的因數是乘子的重要來源.但這並不是惟一的來源.例如，11是(21,5,1)循環差集D = {3,6,7,12,14}的數值乘子，而11並不是n=4的因子.當一個數值乘子不是n的因子時，稱為額外乘子.已知某些數不可能成為差集的額外乘子.例如，2不可能是阿貝爾差集的額外乘子，v-1不可能是任何((v,k,})循環差集的額外乘子.
