么半範疇， 直覺地講，是個配上張量積的阿貝爾範疇，可當作環的範疇化。
基本介紹
- 中文名：么半範疇
- 外文名：monoidal category
tensor category - 所屬學科：範疇論
- 別名：張量範疇
簡介,定義,嚴格么半範疇,例子,相關的結構,
簡介
範疇論中，一個么半範疇是一個包含單一個對象的雙範疇。
定義
張量範疇是配有雙函子⊗:M×M→M（張量積雙函子）的範疇M ，且被賦予一個對象e（單位對象），與三組自然同構：結契約構α滿足α:a(bc)≅(ab)c，左單位同構λ:ea≅a與右單位同構ρ:ae≅a，並有如下交換圖表性質：
（五邊形公理）a(b(cd))→(ab)(cd)→((ab)c)→(a(bc))d=a(b(cd))→a((bc)d)→(a(bc))d，即α1∘α∘α=α∘1α。
（三角形公理）a(ec)→(ae)c→ac=a(ec)→ac，即ρ1∘α=1λ。
嚴格么半範疇
嚴格么半範疇是個么半範疇 ，其自然態射和
都是恆等映射。
取任一範疇
, 我們可構築其自由嚴格么半範疇
：
（1）對象：其每一對象是一串由 裡面的對象組成之有限序列 ；
（2）態射：若且唯若n=m時，我們在兩個對象之間定義態射：
每態射是一串由態射組成的有限序列；
（3）張量積： 兩個-對象及之張量積， 我們定義為這兩個有限序列之串接
； 同樣地任何兩個-態射的張量積， 我們定義為其串接。
例子
取任一範疇，若以其平常範疇積作張量積，以其終對象作單位對象，則成為一個張量範疇。
亦可取任一範疇，以其余積作張量積，以其始對象作單位對象，亦成一個張量範疇。 這此兩例實為對稱么半範疇結構。但亦有許多張量範疇，其張量積既非範疇積亦非範疇余積。
加性範疇為么半範疇，張量積為直和函子⊕，單位對象為零對象。
相關的結構
- 很多張量範疇更進一步有辮，交換態射或封閉等結構。
- 么半函子為兩個張量範疇間、保存張量積結構的函子；么半態射為二么半函子間之態射（自然變換）。
- 上有界交半格構成一嚴格對稱么半範疇：其積為交，而單位元則為頂。
